Биологическая модель нейрона - Biological neuron model

Рис. 1. Нейрон и миелинизированный аксон с потоком сигнала от входов на дендритах к выходам на окончаниях аксонов. Сигнал представляет собой короткий электрический импульс, называемый потенциалом действия или «всплеском».

Рис. 2. Динамика потенциала действия нейронов («спайк»). Обратите внимание, что амплитуда и точная форма потенциала действия могут варьироваться в зависимости от точной экспериментальной техники, используемой для получения сигнала.

Модели биологических нейронов , также известные как модели нейронов с импульсами , представляют собой математические описания свойств определенных клеток нервной системы, которые генерируют резкие электрические потенциалы через их клеточную мембрану длительностью примерно одну миллисекунду, называемые потенциалами действия или пиками (рис. 2). ). Поскольку импульсы передаются по аксону и синапсам от передающего нейрона ко многим другим нейронам, импульсные нейроны считаются основным блоком обработки информации нервной системы . Модели нейронов с импульсами можно разделить на разные категории: наиболее подробными математическими моделями являются биофизические модели нейронов (также называемые моделями Ходжкина-Хаксли), которые описывают мембранное напряжение как функцию входного тока и активации ионных каналов. Математически более простыми являются модели интеграции и срабатывания, которые описывают мембранное напряжение как функцию входного тока и предсказывают время всплесков без описания биофизических процессов, которые формируют временной ход потенциала действия. Даже более абстрактные модели предсказывают только всплески выходного сигнала (но не мембранного напряжения) в зависимости от стимуляции, при этом стимуляция может происходить через сенсорный ввод или фармакологически. В этой статье представлен краткий обзор различных моделей нейронов с импульсами и ссылок, когда это возможно, на экспериментальные явления. Он включает детерминированные и вероятностные модели.

Введение: Биологические основы, классификация и цели нейронных моделей.

Клетки без пиков, клетки с пиками и их измерение

Не все клетки нервной системы производят спайк, который определяет возможности моделей спикового нейрона. Например, кохлеарные волосковые клетки , клетки сетчатки рецепторов и сетчатки биполярные клетки не шип. Кроме того, многие клетки нервной системы не классифицируются как нейроны, а классифицируются как глия .

Активность нейронов можно измерить с помощью различных экспериментальных методик, таких как метод измерения «целая клетка», который фиксирует импульсную активность одного нейрона и производит потенциалы действия полной амплитуды.

При внеклеточных методах измерения электрод (или набор из нескольких электродов) располагается во внеклеточном пространстве. Пики, часто от нескольких источников выбросов, в зависимости от размера электрода и его близости к источникам, могут быть идентифицированы с помощью методов обработки сигналов. Внеклеточные измерения имеют несколько преимуществ: 1) их легче получить экспериментальным путем; 2) Надежен и служит дольше; 3) Может отражать доминирующий эффект, особенно при проведении в анатомической области с множеством похожих клеток.

Обзор моделей нейронов

Модели нейронов можно разделить на две категории в зависимости от физических единиц интерфейса модели. Каждую категорию можно дополнительно разделить по уровню абстракции / детализации:

1. Модели электрического входного-выходного напряжения мембраны - эти модели позволяют прогнозировать выходное напряжение мембраны в зависимости от электростимуляции, заданной как входной ток или напряжение. Различные модели в этой категории различаются точным функциональным соотношением между входным током и выходным напряжением, а также уровнем детализации. Некоторые модели в этой категории предсказывают только момент возникновения всплеска выпуска (также известного как «потенциал действия»); другие модели более подробны и учитывают субклеточные процессы. Модели в этой категории могут быть детерминированными или вероятностными.
2. Модели естественного стимула или фармакологического входного нейрона - модели в этой категории связывают входной стимул, который может быть фармакологическим или естественным, с вероятностью всплеска. Входной каскад этих моделей не является электрическим, а имеет либо фармакологические (химические) единицы концентрации, либо физические единицы, которые характеризуют внешний стимул, такой как свет, звук или другие формы физического давления. Кроме того, выходной каскад представляет вероятность выброса, а не электрического напряжения.

Хотя в науке и технике нет ничего необычного в наличии нескольких описательных моделей для разных уровней абстракции / детализации, количество различных, иногда противоречащих друг другу биологических моделей нейронов исключительно велико. Эта ситуация частично является результатом множества различных экспериментальных настроек и сложности отделения внутренних свойств отдельного нейрона от эффектов измерений и взаимодействий многих клеток ( сетевых эффектов). Чтобы ускорить сближение к единой теории, мы перечисляем несколько моделей в каждой категории и, где это применимо, также ссылки на поддерживающие эксперименты.

Цели нейронных моделей

В конечном счете, биологические модели нейронов призваны объяснить механизмы, лежащие в основе работы нервной системы. Моделирование помогает анализировать экспериментальные данные и решать такие вопросы, как: Как спайки нейрона связаны с сенсорной стимуляцией или двигательной активностью, такой как движения рук? Какой нейронный код использует нервная система? Модели также важны в контексте восстановления утраченных функций мозга с помощью нейропротезных устройств.

Электрические модели ввода-вывода мембранного напряжения

Модели в этой категории описывают взаимосвязь между токами мембран нейронов на входном каскаде и мембранным напряжением на выходном каскаде. Эта категория включает (обобщенные) модели интегрирования и запуска и биофизические модели, вдохновленные работами Ходжкина-Хаксли в начале 1950-х годов с использованием экспериментальной установки, которая прокалывала клеточную мембрану и позволяла вызвать определенное напряжение / ток мембраны.

Большинство современных электрических нейронных интерфейсов применяют внеклеточную электростимуляцию, чтобы избежать прокола мембраны, что может привести к гибели клеток и повреждению тканей. Следовательно, неясно, в какой степени электрические модели нейронов подходят для внеклеточной стимуляции (см., Например).

Ходжкина – Хаксли

Модель Ходжкина-Хаксли (модель H&H) - это модель взаимосвязи между потоком ионных токов через мембрану нейрональной клетки и мембранным напряжением клетки. Он состоит из набора нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение ионных каналов, пронизывающих клеточную мембрану гигантского аксона кальмара . За эту работу Ходжкин и Хаксли были удостоены Нобелевской премии 1963 года по физиологии и медицине.

Мы отмечаем зависимость напряжения от тока с множественными зависимыми от напряжения токами, заряжающими клеточную мембрану емкостью C _m.

${\ displaystyle C _ {\ mathrm {m}} {\ frac {dV (t)} {dt}} = - \ sum _ {i} I_ {i} (t, V).}$

Вышеприведенное уравнение является производной по времени от закона емкости , Q = CV, где изменение общего заряда следует объяснять как сумму по токам. Каждый ток определяется как

${\ Displaystyle I (т, В) = г (т, В) \ cdot (В-В _ {\ mathrm {eq}})}$

где g ( t , V ) - проводимость или обратное сопротивление, которое может быть расширено с точки зрения его максимальной проводимости ḡ и фракций активации и инактивации m и h , соответственно, которые определяют, сколько ионов может проходить через доступные мембранные каналы. Это расширение дается

${\ displaystyle g (t, V) = {\ bar {g}} \ cdot m (t, V) ^ {p} \ cdot h (t, V) ^ {q}}$

и наши фракции следуют кинетике первого порядка

${\ displaystyle {\ frac {dm (t, V)} {dt}} = {\ frac {m _ {\ infty} (V) -m (t, V)} {\ tau _ {\ mathrm {m}} (V)}} = \ alpha _ {\ mathrm {m}} (V) \ cdot (1-m) - \ beta _ {\ mathrm {m}} (V) \ cdot m}$

с аналогичной динамикой для h , где мы можем использовать либо τ и m _∞, либо α и β, чтобы определить наши доли ворот.

Модель Ходжкина – Хаксли может быть расширена за счет включения дополнительных ионных токов. Обычно они включают входящие токи Ca ²⁺ и Na ⁺ , а также несколько разновидностей выходящих токов K ⁺ , включая ток утечки.

Конечным результатом может быть около 20 параметров, которые необходимо оценить или измерить для получения точной модели. В модели сложной системы нейронов численное интегрирование уравнений требует больших вычислительных ресурсов . Поэтому необходимы тщательные упрощения модели Ходжкина – Хаксли.

Модель может быть уменьшена до двух измерений благодаря динамическим отношениям, которые могут быть установлены между стробирующими переменными. его также можно расширить, чтобы учесть изменение концентраций (считающихся фиксированными в исходной модели).

Идеальная интеграция и огонь

Одна из самых ранних моделей нейрона - это идеальная модель интегрирования и возбуждения (также называемая без утечки интегрирования и возбуждения), впервые исследованная в 1907 году Луи Лапиком . Нейрон представлен его мембранным напряжением V, которое изменяется во времени во время стимуляции с входным током I (t) в соответствии с

${\ displaystyle I (t) = C {\ frac {dV (t)} {dt}}}$

которая является производной по времени от закона емкости , Q = CV . Когда подается входной ток, мембранное напряжение увеличивается со временем, пока не достигнет постоянного порогового значения V _th , в этот момент происходит всплеск дельта-функции и напряжение сбрасывается до своего потенциала покоя, после чего модель продолжает работать. Таким образом, частота срабатывания модели неограниченно линейно увеличивается с увеличением входного тока.

Модель можно сделать более точной, введя рефрактерный период t _ref, который ограничивает частоту срабатывания нейрона, предотвращая его срабатывание в течение этого периода. Для постоянного входа I (t) = I пороговое напряжение достигается через время интегрирования t _int = CV _thr / I после старта с нуля. После сброса рефрактерный период вводит мертвое время, так что общее время до следующего обжига составляет t _ref + t _int . Частота срабатывания обратна полному интервалу между импульсами (включая мертвое время). Таким образом, частота зажигания как функция постоянного входного тока равна

${\ displaystyle \, \! f (I) = {\ frac {I} {C _ {\ mathrm {}} V _ {\ mathrm {th}} + t _ {\ mathrm {ref}} I}}.}$

Недостатком этой модели является то, что она не описывает ни адаптации, ни утечки. Если в какой-то момент модель получит короткий импульс тока ниже порогового значения, она сохранит это повышение напряжения навсегда - до тех пор, пока другой вход не заставит ее сработать. Эта характеристика явно не соответствует наблюдаемому поведению нейронов. Следующие расширения делают модель интеграции и стрельбы более правдоподобной с биологической точки зрения.

Дырявый интегрируй и зажигай

Модель с утечкой «интегрировать и воспламенить», восходящую к Луи Лапику , содержит, по сравнению с моделью «интегрировать и воспламенять» без утечек, термин «утечка» в уравнении мембранного потенциала, отражающий диффузию ионов через мембрану. . Уравнение модели выглядит как

${\ displaystyle C _ {\ mathrm {m}} {\ frac {dV _ {\ mathrm {m}} (t)} {dt}} = I (t) - {\ frac {V _ {\ mathrm {m}} ( t)} {R _ {\ mathrm {m}}}}}$

Нейрон представлен RC-цепью с порогом. Каждый входной импульс (например, вызванный выбросом от другого нейрона) вызывает короткий импульс тока. Напряжение спадает экспоненциально. Если пороговое значение достигнуто, генерируется пик на выходе, и напряжение сбрасывается.

где V _m - напряжение на клеточной мембране, а R _m - сопротивление мембраны. (Модель интегрирования и возгорания без утечки восстанавливается в пределе R _m до бесконечности, т. Е. Если мембрана является идеальным изолятором). Уравнение модели действительно для произвольных зависящих от времени входных данных до тех пор, пока не будет достигнуто пороговое значение V _th ; после этого мембранный потенциал сбрасывается.

Для постоянного входа минимальный входной сигнал для достижения порога равен I _th = V _th / R _m . Предполагая сброс на ноль, частота срабатывания, таким образом, выглядит как

${\ displaystyle f (I) = {\ begin {case} 0, & I \ leq I _ {\ mathrm {th}} \\\ left [t _ {\ mathrm {ref}} -R _ {\ mathrm {m}} C_ {\ mathrm {m}} \ log \ left (1 - {\ tfrac {V _ {\ mathrm {th}}} {IR _ {\ mathrm {m}}}} \ right) \ right] ^ {- 1}, & I> Я _ {\ mathrm {th}} \ end {case}}}$

который сходится при больших входных токах к предыдущей модели без утечек с рефрактерным периодом. Модель также может быть использована для тормозных нейронов.

Самым большим недостатком нейрона «Дырявый интегрируй и запускай» является то, что он не содержит нейронной адаптации, поэтому он не может описать экспериментально измеренную последовательность всплесков в ответ на постоянный входной ток. Этот недостаток устранен в обобщенных моделях интеграции и запуска, которые также содержат одну или несколько переменных адаптации и способны с высокой степенью точности прогнозировать время спайков кортикальных нейронов при введении тока.

Адаптивная интеграция и огонь

Под адаптацией нейронов понимается тот факт, что даже при наличии постоянного тока, вводимого в сому, интервалы между выбросами на выходе увеличиваются. Адаптивная модель нейрона интеграции и возбуждения сочетает в себе утечку интегрирования напряжения Vс одной или несколькими переменными адаптации w _k (см. главу 6.1 в учебнике Нейронная динамика)

${\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {m}} {\ frac {dV _ {\ mathrm {m}} (t)} {dt}} = RI (t) - [V _ {\ mathrm {m}} (t ) -E _ {\ mathrm {m}}] - R \ sum _ {k} w_ {k}}$

${\ displaystyle \ tau _ {k} {\ frac {dw_ {k} (t)} {dt}} = - a_ {k} [V _ {\ mathrm {m}} (t) -E _ {\ mathrm {m }}] - w_ {k} + b_ {k} \ tau _ {k} \ sum _ {f} \ delta (tt ^ {f})}$

где - постоянная времени мембраны, w _k - номер тока адаптации, с индексом k , - постоянная времени тока адаптации w _k , E _m - потенциал покоя, а t ^f - время срабатывания нейрона, а греческая дельта обозначает дельта-функция Дирака. Когда напряжение достигает порога срабатывания, напряжение сбрасывается до значения V _r ниже порога срабатывания. Значение сброса - один из важных параметров модели. В простейшей модели адаптации имеется только одна переменная адаптации w${\ Displaystyle \ тау _ {м}}$${\ Displaystyle \ тау _ {к}}$ и сумма по k удаляется.

Время всплесков и подпороговое напряжение моделей нейронов коры можно предсказать с помощью обобщенных моделей интеграции и запуска, таких как адаптивная модель интеграции и запуска, адаптивная экспоненциальная модель интеграции и запуска или модель всплесковой реакции. В приведенном здесь примере адаптация реализуется с помощью динамического порога, который увеличивается после каждого всплеска.

Интегрируйте и активируйте нейроны с одной или несколькими адаптационными переменными, которые могут учитывать различные паттерны возбуждения нейронов в ответ на постоянную стимуляцию, включая адаптацию, взрыв и начальный взрыв. Более того, адаптивные нейроны с интеграцией и запуском с несколькими адаптационными переменными способны предсказывать время спайков кортикальных нейронов при зависящей от времени инъекции тока в сому.

Интегрируй и возгорай с утечкой дробного порядка

Недавние достижения в вычислительном и теоретическом дробном исчислении привели к новой форме модели, называемой «интегрировать и запустить с утечкой дробного порядка». Преимущество этой модели состоит в том, что она может фиксировать эффекты адаптации с помощью одной переменной. Модель имеет следующий вид

${\ displaystyle I (t) - {\ frac {V _ {\ mathrm {m}} (t)} {R _ {\ mathrm {m}}}} = C _ {\ mathrm {m}} {\ frac {d ^ {\ alpha} V _ {\ mathrm {m}} (t)} {d ^ {\ alpha} t}}}$

Как только напряжение достигает порогового значения, оно сбрасывается. Для учета адаптации нейронов в экспериментальных данных использовалась фракционная интеграция.

Экспоненциальная интеграция и активация и адаптивная экспоненциальная интеграция и активация

В экспоненциальной модели с интегрированием и включением генерация всплесков является экспоненциальной в соответствии с уравнением:

${\ displaystyle {\ frac {dV} {dt}} - {\ frac {R} {\ tau _ {m}}} I (t) = {\ frac {1} {\ tau _ {m}}} \ left [E_ {m} -V + \ Delta _ {T} \ exp \ left ({\ frac {V-V_ {T}} {\ Delta _ {T}}} \ right) \ right].}$

где - мембранный потенциал, - внутренний порог мембранного потенциала, - постоянная времени мембраны, - это потенциал покоя, и - резкость инициирования потенциала действия, обычно около 1 мВ для кортикальных пирамидных нейронов. Как только мембранный потенциал пересекает , он расходится до бесконечности за конечное время. При численном моделировании интегрирование останавливается, если мембранный потенциал достигает произвольного порога (намного большего, чем ), при котором мембранный потенциал сбрасывается до значения V _r . Значение сброса напряжения V _r является одним из важных параметров модели. Важно отметить, что правая часть приведенного выше уравнения содержит нелинейность, которая может быть непосредственно извлечена из экспериментальных данных. В этом смысле экспоненциальная нелинейность убедительно подтверждается экспериментальными данными. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V_ {T}}$${\ Displaystyle \ тау _ {м}}$${\ displaystyle E_ {m}}$${\ displaystyle \ Delta _ {T}}$${\ displaystyle V_ {T}}$${\ displaystyle V_ {T}}$

В адаптивном экспоненциальном нейроне с интеграцией и запуском указанная выше экспоненциальная нелинейность уравнения напряжения сочетается с адаптационной переменной w

${\ displaystyle \ tau _ {m} {\ frac {dV} {dt}} = RI (t) + \ left [E_ {m} -V + \ Delta _ {T} \ exp \ left ({\ frac {V -V_ {T}} {\ Delta _ {T}}} \ right) \ right] -Rw}$

${\ displaystyle \ tau {\ frac {dw (t)} {dt}} = - a [V _ {\ mathrm {m}} (t) -E _ {\ mathrm {m}}] - w + b \ tau \ дельта (tt ^ {f})}$

Схема срабатывания начального разрыва в ответ на входной ступенчатый ток, сгенерированный с помощью адаптивной экспоненциальной модели интегрирования и срабатывания. Также могут быть созданы другие схемы зажигания.

где wобозначает ток адаптации с временной шкалой . Важные параметры модели являются значение сброса напряжения V _г , характеристическая порог , постоянное времени и , а также параметры связи${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle V_ {T}}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ тау _ {м}}$и б. Адаптивная экспоненциальная модель интегрирования и зажигания наследует экспериментально полученную нелинейность напряжения экспоненциальной модели интегрирования и зажигания. Но, выходя за рамки этой модели, он также может учитывать различные паттерны возбуждения нейронов в ответ на постоянную стимуляцию, включая адаптацию, взрыв и начальный взрыв. Однако, поскольку адаптация имеет форму тока, может появиться аберрантная гиперполяризация. Эта проблема была решена путем выражения ее в виде проводимости.

Стохастические модели мембранного напряжения и синхронизации всплесков

Модели в этой категории представляют собой обобщенные модели интеграции и исключения, которые включают определенный уровень стохастичности. Обнаружено, что в экспериментах корковые нейроны надежно реагируют на зависящие от времени входные данные, хотя и с небольшой степенью вариаций между одним испытанием и другим, если один и тот же стимул повторяется. Стохастичность нейронов имеет два важных источника. Во-первых, даже в очень контролируемом эксперименте, когда входной ток вводится непосредственно в сому, ионные каналы открываются и закрываются стохастически, и этот шум канала приводит к небольшой вариабельности в точном значении мембранного потенциала и точной синхронизации выходных всплесков. . Во-вторых, для нейрона, встроенного в корковую сеть, трудно контролировать точный ввод, потому что большинство входных данных поступает от ненаблюдаемых нейронов где-то еще в мозге.

Стохастичность была введена в модели нейронов с пиками в двух принципиально разных формах: либо (i) шумный входной ток добавляется к дифференциальному уравнению модели нейрона; или (ii) процесс генерации всплесков шумный. В обоих случаях математическая теория может быть разработана для непрерывного времени, которое затем, при желании для использования в компьютерном моделировании, преобразуется в модель с дискретным временем.

Связь шума в моделях нейронов с изменчивостью цепочек импульсов и нейронных кодов обсуждается в « Нейронном кодировании» и в главе 7 учебника «Нейронная динамика».

Модель с шумным входом (диффузный шум)

Нейрон, встроенный в сеть, получает импульсный сигнал от других нейронов. Поскольку время прихода пиков не контролируется экспериментатором, их можно рассматривать как стохастические. Таким образом, (потенциально нелинейная) модель интегрирования и запуска с нелинейностью f (v) получает два входа: вход, контролируемый экспериментаторами, и шумный входной ток, который описывает неконтролируемый фоновый вход. ${\ Displaystyle I (т)}$${\ Displaystyle I ^ {\ rm {шум}} (т)}$

${\ displaystyle \ tau _ {m} {\ frac {dV} {dt}} = f (V) + RI (t) + RI ^ {\ text {noise}} (t)}$

Модель Штейна - это частный случай нейрона с утечкой, включающего и запускающего, и стационарного тока белого шума со средним нулем и единичной дисперсией. В подпороговом режиме, эти предположения дают уравнение Орнштейн-Уленбек процесса ${\ displaystyle I ^ {\ rm {noise}} (t) = \ xi (t)}$

${\ displaystyle \ tau _ {m} {\ frac {dV} {dt}} = [E_ {m} -V] + RI (t) + R \ xi (t)}$

Однако, в отличие от стандартного процесса Орнштейна – Уленбека, мембранное напряжение сбрасывается всякий раз, когда V достигает порога срабатывания V _th . Расчет интервального распределения модели Орнштейна – Уленбека для постоянного входа с порогом приводит к проблеме времени первого прохождения . Модель нейрона Стейна и ее варианты использовались для соответствия распределению межспайковых интервалов последовательностей спайков от реальных нейронов при постоянном входном токе.

В математической литературе указанное выше уравнение процесса Орнштейна – Уленбека записывается в виде

${\ displaystyle dV = [E_ {m} -V + RI (t)] {\ frac {dt} {\ tau _ {m}}} + \ sigma \, dW}$

где - амплитуда входного шума, а dW - приращения винеровского процесса. Для реализаций дискретного времени с шагом времени dt обновления напряжения ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ Delta V = [E_ {m} -V + RI (t)] {\ frac {\ Delta t} {\ tau _ {m}}} + \ sigma {\ sqrt {\ tau _ {m} }} y}$

где y взят из гауссова распределения с нулевой средней единичной дисперсией. Напряжение сбрасывается, когда оно достигает порога срабатывания V _th .

Модель зашумленного входа также может использоваться в обобщенных моделях интеграции и возгорания. Например, экспоненциальная модель интеграции и запуска с шумным входом читает

${\ displaystyle \ tau _ {m} {\ frac {dV} {dt}} = E_ {m} -V + \ Delta _ {T} \ exp \ left ({\ frac {V-V_ {T}} {\ Дельта _ {T}}} \ right) + RI (t) + R \ xi (t)}$

Для постоянного детерминированного ввода можно рассчитать среднюю скорость стрельбы как функцию от . Это важно, потому что соотношение частота-ток (fI-кривая) часто используется экспериментаторами для характеристики нейрона. Это также передаточная функция в ${\ displaystyle I (t) = I_ {0}}$${\ displaystyle I_ {0}}$

Утечка интегрировать и запустить с шумным входом широко использовалась при анализе сетей нейронов с импульсами. Шумный вход также называется `` диффузным шумом '', потому что он приводит к диффузии подпорогового мембранного потенциала по свободной от шума траектории (Йоханнесма, Теория пиков нейронов с шумным входом рассматривается в главе 8.2 учебника Neuronal Dynamics .

Модель с шумным выходом (ускользающий шум)

В детерминированных моделях интегрирования и возгорания всплеск генерируется, если мембранный потенциал V (t)попадает в порог . В моделях с шумным выходом строгий порог заменяется на зашумленный следующим образом. В каждый момент времени t случайным образом генерируется всплеск с мгновенной стохастической интенсивностью или «скоростью ухода».${\ displaystyle V_ {th}}$

${\ Displaystyle \ rho (т) = е (V (т) -V_ {th})}$

зависящее от мгновенной разницы между мембранным напряжением V (t)и порог . Обычный выбор для «скорости побега» (который согласуется с биологическими данными): ${\ displaystyle V_ {th}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (V-V_ {th}) = {\ frac {1} {\ tau _ {0}}} \ exp [\ beta (V-V_ {th}]}$

Генерация стохастических всплесков (шумный выход) зависит от мгновенной разницы между мембранным потенциалом V (t) и порогом. Мембранный потенциал V модели спайк-ответа (SRM) имеет два вклада. Сначала входной ток I фильтруется первым фильтром k. Во-вторых, последовательность выбросов S (t) на выходе фильтруется вторым фильтром η и возвращается обратно. Результирующий мембранный потенциал V (t) используется для генерации всплесков выходного сигнала с помощью стохастического процесса ρ (t) с интенсивностью, которая зависит от расстояния между мембранным потенциалом и порогом. Модель пикового отклика (SRM) тесно связана с Generalized Linear Model (GLM).

где - постоянная времени, которая описывает, как быстро срабатывает пик, когда мембранный потенциал достигает порогового значения, и является параметром резкости. Поскольку порог становится резким, и запуск импульса детерминированно происходит в тот момент, когда мембранный потенциал достигает порога снизу. Значение резкости, обнаруженное в экспериментах, означает, что срабатывание нейронов становится значимым, как только мембранный потенциал становится на несколько мВ ниже формального порога срабатывания. ${\ displaystyle \ tau _ {0}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta \ to \ infty}$${\ displaystyle 1 / \ beta \ около 4 мВ}$

Процесс скорости побега через мягкий порог рассматривается в главе 9 учебника « Нейронная динамика».

Для моделей с дискретным временем всплеск генерируется с вероятностью

${\ Displaystyle P_ {F} (t_ {n}) = F [V (t_ {n}) - V_ {th}]}$

которое зависит от мгновенной разницы между мембранным напряжением Vвремя и порог . Функцию F часто принимают как стандартную сигмоидальную диаграмму с параметром крутизны , аналогичную динамике обновления в искусственных нейронных сетях. Но функциональная форма F также может быть получена из стохастической интенсивности в непрерывном времени, представленной выше, как где - расстояние до порога. ${\ displaystyle t_ {n}}$${\ displaystyle V_ {th}}$${\ Displaystyle F (х) = 0,5 [1+ \ tanh (\ gamma x)]}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle F (y_ {n}) \ приблизительно 1- \ exp [y_ {n} \ Delta t]}$${\ displaystyle y_ {n} = V (t_ {n}) - V_ {th}}$

Модели интеграции и запуска с выходным шумом могут использоваться для прогнозирования PSTH реальных нейронов при произвольном зависящем от времени входном сигнале. Для неадаптивных нейронов с интеграцией и запуском распределение интервалов при постоянной стимуляции можно рассчитать с помощью теории стационарного обновления .

Модель пикового отклика (SRM)

Основная статья : Модель спайкового ответа

Модель пикового отклика (SRM) - это общая линейная модель для подпорогового мембранного напряжения в сочетании с нелинейным выходным шумовым процессом для генерации пиков. Напряжение мембраны V (t)во время т является

${\ Displaystyle V (T) = \ сумма _ {f} \ eta (tt ^ {f}) + \ int _ {0} ^ {\ infty} \ kappa (s) I (ts) \, ds + V_ { \ mathrm {rest}}}$

где t ^f - время срабатывания спайка номер f нейрона, V _rest - напряжение покоя при отсутствии входа, I (ts)представляет собой входной ток в момент времени ts и представляет собой линейный фильтр (также называемый ядром), который описывает вклад импульса входного тока в момент времени ts в напряжение в момент времени t. Вклады в напряжение, вызванные всплеском во времени , описываются огнеупорным ядром . В частности, описывает сброс после пика и изменение во времени остаточного пикового потенциала после пика. Следовательно, он выражает последствия рефрактерности и адаптации. Напряжение V (t) можно интерпретировать как результат интегрирования дифференциального уравнения модели с утечкой «интегрировать и возгорать» в сочетании с произвольным числом переменных адаптации, запускаемых всплесками. ${\ Displaystyle \ каппа (ы)}$${\ displaystyle t ^ {f}}$${\ displaystyle \ eta (tt ^ {f})}$${\ displaystyle \ eta (tt ^ {f})}$

Возбуждение пиков является стохастическим и происходит со стохастической интенсивностью, зависящей от времени (мгновенная скорость).

${\ Displaystyle е (V- \ vartheta (t)) = {\ frac {1} {\ tau _ {0}}} \ exp [\ beta (V- \ vartheta (t)]}$

с параметрами и и динамическим порогом, задаваемым ${\ displaystyle \ tau _ {0}}$${\ displaystyle \ beta}$ ${\ Displaystyle \ vartheta (т)}$

${\ displaystyle \ vartheta (t) = \ vartheta _ {0} + \ sum _ {f} \ theta _ {1} (tt ^ {f})}$

Вот порог срабатывания неактивного нейрона и описывает увеличение порога после всплеска во времени . В случае фиксированного порога устанавливается = 0. Ибо пороговый процесс детерминирован.${\ displaystyle \ vartheta _ {0}}$${\ displaystyle \ theta _ {1} (tt ^ {f})}$${\ displaystyle t ^ {f}}$${\ displaystyle \ theta _ {1} (tt ^ {f})}$${\ displaystyle \ beta \ to \ infty}$

Временной ход фильтров, которые характеризуют модель пикового отклика, может быть непосредственно извлечен из экспериментальных данных. Благодаря оптимизированным параметрам SRM описывает временной ход подпорогового мембранного напряжения для зависящего от времени входа с точностью до 2 мВ и может прогнозировать синхронизацию большинства всплесков на выходе с точностью до 4 мс. SRM тесно связан с линейно-нелинейными каскадными моделями Пуассона (также называемыми обобщенной линейной моделью). Оценка параметров вероятностных моделей нейронов, таких как SRM, с использованием методов, разработанных для обобщенных линейных моделей, обсуждается в главе 10 учебника Neuronal Dynamics . ${\ displaystyle \ eta, \ kappa, \ theta _ {1}}$

Прибытие спайков вызывает суммирование постсинаптических потенциалов (красные линии). Если полное напряжение V достигает порогового значения (пунктирная синяя линия), инициируется всплеск (зеленый цвет), который также включает в себя остаточный импульс. Порог увеличивается после каждого всплеска. Постсинаптические потенциалы - это ответ на входящие всплески, а постсинаптический потенциал - это ответ на исходящие всплески.

Модель отклика на всплеск имени возникает из-за того, что в сети входной ток для нейрона i генерируется импульсами других нейронов, так что в случае сети уравнение напряжения становится

${\ displaystyle V_ {i} (t) = \ sum _ {f} \ eta _ {i} (t-t_ {i} ^ {f}) + \ sum _ {j = 1} ^ {N} w_ { ij} \ sum _ {f '} \ varepsilon _ {ij} (t-t_ {j} ^ {f'}) + V _ {\ mathrm {rest}}}$

где - время срабатывания нейрона j (т. е. его последовательность спайков), и описывает ход спайка и пост-потенциала спайка для нейрона i, а также описывает амплитуду и ход во времени возбуждающего или тормозящего постсинаптического потенциала (PSP ), вызванный спайком пресинаптического нейрона j. Динамика PSP является результатом свертки постсинаптического тока, вызванного приходом пресинаптического спайка от нейрона j с мембранным фильтром . ${\ displaystyle t_ {j} ^ {f '}}$${\ displaystyle \ eta _ {я} (т-т_ {я} ^ {е})}$${\ displaystyle w_ {ij}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} (t-t_ {j} ^ {f '})}$${\ displaystyle t_ {j} ^ {f '}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} (s)}$${\ Displaystyle I (т)}$${\ Displaystyle \ каппа (ы)}$

SRM0

SRM 0 стохастическая модель нейрон связан с зависящим от времени нелинейной теории восстановления и упрощения Spike Renose модели (SRM). Основное отличие от приведенного выше уравнения напряжения SRM заключается в том, что в члене, содержащем огнеупорное ядро, отсутствует знак суммирования по прошлым всплескам: имеет значение только самый последний всплеск (обозначенный как время ). Еще одно отличие состоит в том, что порог постоянный. Модель SRM0 может быть сформулирована в дискретном или непрерывном времени. Например, в непрерывном времени уравнение для одного нейрона имеет вид ${\ displaystyle \ eta (s)}$${\ displaystyle {\ hat {t}}}$

${\ Displaystyle V (T) = \ eta (t - {\ hat {t}}) + \ int _ {0} ^ {\ infty} \ kappa (s) I (ts) \, ds + V _ {\ mathrm {отдыхать} }}$

а сетевые уравнения SRM 0 имеют вид

${\ displaystyle V_ {i} (t \ mid {\ hat {t}} _ {i}) = \ eta _ {i} (t - {\ hat {t}} _ {i}) + \ sum _ { j} w_ {ij} \ sum _ {f} \ varepsilon _ {ij} (t - {\ hat {t}} _ {i}, tt ^ {f}) + V _ {\ mathrm {rest}}}$

где - время последнего срабатывания нейрона i. Обратите внимание, что временной ход постсинаптического потенциала также может зависеть от времени, прошедшего с момента последнего импульса нейрона i, чтобы описать изменение проводимости мембраны во время рефрактерности. Мгновенная скорострельность (стохастическая интенсивность) равна ${\ displaystyle {\ hat {t}} _ {i}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {ij}}$

${\ displaystyle f (V- \ vartheta) = {\ frac {1} {\ tau _ {0}}} \ exp [\ beta (V-V_ {th})]}$

где - фиксированный порог срабатывания. Таким образом, запуск импульса нейрона i зависит только от его входа и времени, прошедшего с того момента, как нейрон i выпустил свой последний импульс. ${\ displaystyle V_ {th}}$

С помощью SRM 0 распределение межспайковых интервалов для постоянного входа может быть математически связано с формой огнеупорного ядра . Более того, стационарное соотношение частоты и тока может быть рассчитано на основе скорости утечки в сочетании с огнеупорным сердечником . При соответствующем выборе ядер SRM 0 аппроксимирует динамику модели Ходжкина-Хаксли с высокой степенью точности. Более того, можно предсказать ответ PSTH на произвольный зависящий от времени ввод. ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ eta}$

Модель Гальвеса – Лёхербаха

Трехмерная визуализация модели Гальвеса – Лехербаха для биологических нейронных сетей. Эта визуализация настроена для 4000 нейронов (4 слоя с одной популяцией тормозных нейронов и одной популяцией возбуждающих нейронов каждый) через 180 интервалов времени.

Модель Гальвса – Лёчербаха - это стохастическая модель нейрона, тесно связанная с моделью спайк-ответа SRM 0 и моделью «интегрировать и запустить утечку». Он по своей сути стохастичен и, как и SRM 0, связан с зависящей от времени теорией нелинейного восстановления . Учитывая спецификации модели, вероятность того, что данный нейрон дает всплеск за определенный период времени, может быть описана следующим образом: ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ mathop {\ mathrm {Prob}} (X_ {t} (i) = 1 \ mid {\ mathcal {F}} _ {t-1}) = \ varphi _ {i} {\ Biggl (} \ sum _ {j \ in I} W_ {j \ rightarrow i} \ sum _ {s = L_ {t} ^ {i}} ^ {t-1} g_ {j} (ts) X_ {s} (j ), ~~~ t-L_ {t} ^ {i} {\ Biggl)},}$

где - синаптический вес , описывающий влияние нейрона на нейрон , выражающий утечку и предоставляющий историю всплесков нейрона до , согласно ${\ displaystyle W_ {j \ rightarrow i}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle g_ {j}}$${\ displaystyle L_ {t} ^ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle L_ {t} ^ {i} = \ sup \ {s <t: X_ {s} (i) = 1 \}.}$

Важно отметить, что вероятность всплеска нейрона i зависит только от его входного всплеска (отфильтрованного ядром и взвешенного с коэффициентом ) и времени его последнего всплеска на выходе (суммированного ). ${\ displaystyle g_ {j}}$${\ displaystyle W_ {j \ to i}}$${\ Displaystyle т-L_ {т} ^ {я}}$

Дидактические игрушки модели мембранного напряжения

Модели в этой категории представляют собой сильно упрощенные игрушечные модели, которые качественно описывают мембранное напряжение как функцию входного сигнала. Они в основном используются в дидактических целях в обучении, но не считаются действительными моделями нейронов для крупномасштабного моделирования или подбора данных.

ФитцХью – Нагумо

Резкие упрощения Ходжкина-Хаксли были введены ФитцХью и Нагумо в 1961 и 1962 годах. Стремясь описать «регенеративное самовозбуждение» с помощью нелинейного мембранного напряжения с положительной обратной связью и восстановления с помощью линейного напряжения затвора с отрицательной обратной связью, они разработали описанную модель. к

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ dfrac {dV} {dt}} & = & V-V ^ {3} / 3-w + I _ {\ mathrm {ext}} \\\ tau {\ dfrac {dw} {dt}} & = & V-a-bw \ end {array}}}$

где мы снова имеем мембранное напряжение и входной ток с более медленным общим напряжением затвора w и экспериментально определенными параметрами a = -0,7, b = 0,8, τ = 1 / 0,08 . Хотя эта модель явно не выводится из биологии, она допускает упрощенную, сразу доступную динамику, не являясь тривиальным упрощением. Экспериментальная поддержка слабая, но модель полезна как дидактический инструмент для знакомства с динамикой генерации всплесков посредством анализа фазовой плоскости . См. Главу 7 в учебнике " Методы нейронного моделирования".

Моррис – Лекар

В 1981 году Моррис и Лекар объединили модели Ходжкина – Хаксли и ФитцХью – Нагумо в модель потенциалозависимого кальциевого канала с калиевым каналом с задержанным выпрямителем, представленной

${\ displaystyle {\ begin {align} & C {\ frac {dV} {dt}} & = & - I _ {\ mathrm {ion}} (V, w) + I \\ [6pt] & {\ frac {dw } {dt}} & = & \ varphi \ cdot {\ frac {w _ {\ infty} -w} {\ tau _ {w}}} \ end {выровнено}}}$

где . Экспериментальная поддержка модели слабая, но модель полезна как дидактический инструмент для ознакомления с динамикой генерации всплесков посредством анализа фазовой плоскости . См. Главу 7 в учебнике " Методы нейронного моделирования" . ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {ion}} (V, w) = {\ bar {g}} _ {\ mathrm {Ca}} m _ {\ infty} \ cdot (V-V _ {\ mathrm {Ca}} ) + {\ bar {g}} _ {\ mathrm {K}} w \ cdot (V-V _ {\ mathrm {K}}) + {\ bar {g}} _ {\ mathrm {L}} \ cdot (V-V _ {\ mathrm {L}})}$

Двумерная модель нейрона, очень похожая на модель Морриса-Лекара, может быть получена шаг за шагом, начиная с модели Ходжкина-Хаксли. См. Главу 4.2 в учебнике «Нейрональная динамика».

Хиндмарш – Роуз

Основываясь на модели ФитцХью – Нагумо, Хиндмарш и Роуз предложили в 1984 году модель нейронной активности, описываемую тремя связанными дифференциальными уравнениями первого порядка:

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {dx} {dt}} & = & y + 3x ^ {2} -x ^ {3} -z + I \\ [6pt] & {\ frac {dy } {dt}} & = & 1-5x ^ {2} -y \\ [6pt] & {\ frac {dz} {dt}} & = & r \ cdot (4 (x + {\ tfrac {8} {5} }) - z) \ end {выровнен}}}$

с r ² = x ² + y ² + z ² и r ≈ 10 ^−2, так что переменная z изменяется очень медленно. Эта дополнительная математическая сложность допускает большое разнообразие динамических характеристик мембранного потенциала, описываемого переменной x модели, включая хаотическую динамику. Это делает модель нейрона Хиндмарша – Роуза очень полезной, поскольку, будучи по-прежнему простой, позволяет качественно описать множество различных паттернов возбуждения потенциала действия, в частности взрывов, наблюдаемых в экспериментах. Тем не менее, это остается игрушечной моделью и не соответствует экспериментальным данным. Он широко используется в качестве эталонной модели для динамики разрыва.

Тета-модель и квадратичная интеграция-и-огонь.

Модель тета или Ermentrout-Kopell Канонические I типа модели, математически эквивалентна модели квадратичной интегративно-пожарной , который в свою очередь , является приближением к модели экспоненциального интегративно-пожарной и модели Ходжкина-Хаксли. Это называется канонической моделью, потому что это одна из общих моделей для постоянного ввода, близкого к точке бифуркации, что означает близость к переходу от бесшумного к повторяющемуся срабатыванию.

Стандартная формулировка тета-модели:

${\ displaystyle {\ frac {d \ theta (t)} {dt}} = (I-I_ {0}) [1+ \ cos (\ theta)] + [1- \ cos (\ theta)]}$

Уравнение для квадратичной модели интегрирования и возгорания (см. Главу 5.3 в учебнике Нейронная динамика))

${\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {m}} {\ frac {dV _ {\ mathrm {m}} (t)} {dt}} = (I-I_ {0}) R + [V _ {\ mathrm {m }} (t) -E _ {\ mathrm {m}}] [V _ {\ mathrm {m}} (t) -V _ {\ mathrm {T}}]}$

Эквивалентность тета-модели и квадратичной интеграции и запуска рассматривается, например, в главе 4.1.2.2, посвященной моделям пикового нейрона.

Для входа I (t), который изменяется со временем или находится далеко от точки бифуркации, предпочтительнее работать с экспоненциальной моделью интеграции и запуска (если кто-то хочет остаться в классе одномерных моделей нейронов), потому что реальные нейроны демонстрируют нелинейность экспоненциальной модели интеграции и запуска.

Модели нейронов, кодирующие сенсорный ввод и стимул

Модели в этой категории были получены в результате экспериментов с естественной стимуляцией, такой как свет, звук, прикосновение или запах. В этих экспериментах паттерн спайков, возникающий в результате каждого предъявления стимула, варьируется от испытания к испытанию, но усредненный ответ от нескольких испытаний часто сходится к четкому паттерну. Следовательно, модели этой категории создают вероятностную взаимосвязь между входным стимулом и возникновением всплесков. Важно отметить, что записанные нейроны часто расположены на нескольких этапах обработки после сенсорных нейронов, так что эти модели суммируют эффекты последовательности этапов обработки в компактной форме.

Неоднородная модель пуассоновского процесса (Зиберт)

Зиберт смоделировал схему возбуждения спайков нейрона, используя неоднородную модель пуассоновского процесса , после экспериментов с участием слуховой системы. Согласно Зиберту, вероятность пикового события на временном интервале пропорциональна неотрицательной функции , где - необработанный стимул: ${\ Displaystyle [т, т + \ Дельта _ {т}]}$${\ displaystyle g [s (t)]}$${\ displaystyle s (t)}$

${\ displaystyle P _ {\ text {spike}} (t \ in [t ', t' + \ Delta _ {t}]) = \ Delta _ {t} \ cdot g [s (t)]}$

Зиберт считал несколько функций такими , в том числе для слабых стимулов. ${\ displaystyle g [s (t)]}$${\ Displaystyle г [s (т)] \ propto s ^ {2} (т)}$

Главное преимущество модели Зиберта - ее простота. Недостатком модели является неспособность правильно отразить следующие явления:

• Временное усиление возбуждающей активности нейронов в ответ на ступенчатый стимул.
• Насыщение скорострельности.
• Значения межспайковой интервальной гистограммы при значениях коротких интервалов (близких к нулю).

Эти недостатки устраняются с помощью модели точечного процесса, зависящей от возраста, и модели Маркова с двумя состояниями.

Рефрактерность и модель точечных процессов, зависящих от возраста

Берри и Мейстер изучали рефрактерность нейронов, используя стохастическую модель, которая предсказывает спайки как произведение двух членов: функции f (s (t)), которая зависит от зависящего от времени стимула s (t), и функции восстановления, которая зависит от время с последнего всплеска ${\ Displaystyle ш (т - {\ шляпа {т}})}$

${\ Displaystyle \ rho (т) = е (s (т)) вес (т - {\ шляпа {т}})}$

Модель также называется неоднородным интервалом Маркова (IMI) . Подобные модели уже много лет используются в слуховой нейробиологии. Поскольку модель хранит в памяти время последнего всплеска, она не является пуассоновской и относится к классу моделей восстановления, зависящего от времени. Он тесно связан с моделью SRM0 с экспоненциальной скоростью ухода. Важно отметить, что можно подогнать параметры модели точечного процесса, зависящей от возраста, чтобы описать не только реакцию PSTH, но и статистику межспайковых интервалов.

Линейно-нелинейная каскадная модель Пуассона и GLM

Модель каскада линейно-нелинейно-пуассоновского каскада представляет собой каскад процесса линейной фильтрации, за которым следует этап генерации нелинейных всплесков. В случае, когда выбросы на выходе имеют обратную связь, через процесс линейной фильтрации, мы приходим к модели, известной в нейробиологии как Обобщенная линейная модель (GLM). GLM математически эквивалентна модели SRM (пиковый отклик) с убегающим шумом; но в то время как в SRM внутренние переменные интерпретируются как мембранный потенциал и порог срабатывания, в GLM внутренние переменные представляют собой абстрактные величины, которые суммируют чистый эффект входных данных (и недавних всплесков выхода) до того, как на заключительном этапе будут сгенерированы всплески.

Модель Маркова с двумя состояниями (Носсенсон и Мессер)

Модель импульсного нейрона, разработанная Носсенсоном и Мессером, определяет вероятность того, что нейрон вызовет импульс в зависимости от внешнего или фармакологического стимула. Модель состоит из каскада модели рецепторного слоя и модели нейрона с пиковым импульсом, как показано на рис. 4. Связь между внешним стимулом и вероятностью пика осуществляется в два этапа: во-первых, модель рецепторной клетки преобразует исходный внешний стимул. с концентрацией нейротрансмиттера, то модель пикового нейрона связывает между концентрацией нейротрансмиттера и частотой срабатывания (вероятностью пика). Таким образом, модель импульсного нейрона сама по себе зависит от концентрации нейромедиатора на входной стадии.

Рис. 4: Блок-схема высокого уровня рецепторного слоя и модели нейрона от Nossenson & Messer.

Рис. 5. Прогноз скорости стрельбы в ответ на импульсный стимул, представленный моделью Носсенсона и Мессера.

Важной особенностью этой модели является предсказание паттерна скорости возбуждения нейронов, которая фиксирует, используя небольшое количество свободных параметров, характерную реакцию нейронов с выделением краев на импульс стимула, как показано на рис. 5. Скорость возбуждения идентифицируется как как нормализованная вероятность срабатывания нервного импульса и как величина, пропорциональная току нейротрансмиттеров, высвобождаемых клеткой. Выражение для скорострельности принимает следующий вид:

${\ displaystyle R _ {\ text {fire}} (t) = {\ frac {P _ {\ text {spike}} (t; \ Delta _ {t})} {\ Delta _ {t}}} = [y (t) + R_ {0}] \ cdot P_ {0} (t)}$

куда,

• P0 - это вероятность того, что нейрон будет «вооружен» и готов к срабатыванию. Он задается следующим дифференциальным уравнением:

${\ displaystyle {\ dot {P}} _ {0} = - [y (t) + R_ {0} + R_ {1}] \ cdot P_ {0} (t) + R_ {1}}$

P0 обычно можно вычислить рекурсивно с использованием метода Эйлера, но в случае импульса стимула он дает простое выражение в замкнутой форме.

• y ( t ) является входом модели и интерпретируется как концентрация нейромедиатора в окружающей клетке (в большинстве случаев глутамат). Для внешнего стимула его можно оценить с помощью модели рецепторного слоя:

${\ displaystyle y (t) \ simeq g _ {\ text {gain}} \ cdot \ langle s ^ {2} (t) \ rangle,}$

с коротким временным средним значением мощности стимула (выраженным в ваттах или другой энергии в единицу времени). ${\ Displaystyle \ langle s ^ {2} (т) \ rangle}$

• R ₀ соответствует внутренней скорости спонтанного возбуждения нейрона.
• R ₁ - скорость выхода нейрона из рефрактерного состояния.

Другие прогнозы этой модели включают:

1) Усредненный потенциал вызванного ответа (ERP) из-за популяции многих нейронов в нефильтрованных измерениях напоминает частоту активации.

2) Изменение напряжения активности из-за активности нескольких нейронов напоминает скорость возбуждения (также известную как мощность нескольких единиц активности или MUA).

3) Распределение вероятностей между интервалами всплесков принимает форму функции, подобной гамма-распределению.

Фармакологические модели нейронов входного стимула

Модели этой категории позволяют делать прогнозы для экспериментов с фармакологической стимуляцией.

Синаптическая передача (Кох и Сегев)

Согласно модели Коха и Сегева, ответ нейрона на отдельные нейротрансмиттеры может быть смоделирован как расширение классической модели Ходжкина – Хаксли как со стандартными, так и с нестандартными кинетическими токами. Четыре нейротрансмиттера в первую очередь влияют на ЦНС. Рецепторы AMPA / каината являются быстрыми медиаторами возбуждения, тогда как рецепторы NMDA опосредуют значительно более медленные токи. Быстро ингибирующие токи проходят через ГАМК _А рецепторов , в то время как ГАМК _B - рецепторы опосредуют вторичными G -protein-активированных калиевых каналов. Этот диапазон посредничества дает следующую текущую динамику:

• ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {AMPA}} (t, V) = {\ bar {g}} _ {\ mathrm {AMPA}} \ cdot [O] \ cdot (V (t) -E _ {\ mathrm { AMPA}})}$
• ${\ Displaystyle I _ {\ mathrm {NMDA}} (t, V) = {\ bar {g}} _ {\ mathrm {NMDA}} \ cdot B (V) \ cdot [O] \ cdot (V (t) -E _ {\ mathrm {NMDA}})}$
• ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {GABA_ {A}}} (t, V) = {\ bar {g}} _ {\ mathrm {GABA_ {A}}} \ cdot ([O_ {1}] + [O_ {2}]) \ cdot (V (t) -E _ {\ mathrm {Cl}})}$
• ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {GABA_ {B}}} (t, V) = {\ bar {g}} _ {\ mathrm {GABA_ {B}}} \ cdot {\ tfrac {[G] ^ {n }} {[G] ^ {n} + K _ {\ mathrm {d}}}} \ cdot (V (t) -E _ {\ mathrm {K}})}$

где ḡ - максимальная проводимость (около 1 S ), а E - равновесный потенциал данного иона или передатчика (AMDA, NMDA, Cl или K ), а [ O ] описывает долю открытых рецепторов. Для NMDA существует значительный эффект магниевого блока, который сигмоидально зависит от концентрации внутриклеточного магния посредством B ( V ) . Для ГАМК _B , [ G ] - это концентрация G- белка, а K _d описывает диссоциацию G при связывании с воротами калия.

Динамика этой более сложной модели была хорошо изучена экспериментально и дает важные результаты с точки зрения очень быстрого синаптического потенцирования и депрессии , то есть быстрого, краткосрочного обучения.

Стохастическая модель Носсенсона и Мессера переводит концентрацию нейромедиатора на входной стадии в вероятность высвобождения нейромедиатора на выходной стадии. Для более подробного описания этой модели см. Раздел Марковская модель с двумя состояниями выше.

Модель нейрона HTM

Модель нейрона HTM была разработана Джеффом Хокинсом и исследователями из Numenta и основана на теории под названием « Иерархическая временная память» , первоначально описанной в книге « Об интеллекте» . Он основан на нейробиологии, физиологии и взаимодействии пирамидных нейронов в неокортексе человеческого мозга.

Сравнение искусственной нейронной сети (A), биологического нейрона (B) и нейрона HTM (C).

Приложения

Основная статья : интерфейсы мозг-компьютер

Модели нейронных импульсов используются во множестве приложений, которые требуют кодирования или декодирования из цепочек импульсов нейронов в контексте нейропротезирования и интерфейсов мозг-компьютер, таких как протез сетчатки : или управление и ощущения искусственных конечностей. Приложения не являются частью этой статьи; для получения дополнительной информации по этой теме обратитесь к основной статье.

Связь между искусственными и биологическими моделями нейронов

Самая основная модель нейрона состоит из входа с некоторым вектором синаптического веса и функции активации или передаточной функции внутри нейрона, определяющего выход. Это основная структура, используемая для искусственных нейронов, которая в нейронной сети часто выглядит как

${\ displaystyle y_ {i} = \ varphi \ left (\ sum _ {j} w_ {ij} x_ {j} \ right)}$

где y _i - выход i- го нейрона, x _j - сигнал j- го входного нейрона, w _ij - синаптический вес (или сила связи) между нейронами i и j , а φ - функция активации . Хотя эта модель успешно применяется в приложениях для машинного обучения, она не подходит для реальных (биологических) нейронов, поскольку в ней отсутствует зависимость ввода и вывода от времени.

Когда вход включается в момент времени t и после этого остается постоянным, биологические нейроны излучают последовательность импульсов. Важно отметить, что эта последовательность пиков не является регулярной, а демонстрирует временную структуру, характеризующуюся адаптацией, разрывом или начальным разрывом, за которым следует регулярный всплеск. Обобщенная модель интеграции и запуска, такая как модель Adaptive Exponential Integrate-and-Fire, модель пикового отклика или (линейная) адаптивная модель интеграции и запуска, способна уловить эти паттерны возбуждения нейронов.

Более того, нейронный вход в мозг зависит от времени. Входные данные, зависящие от времени, преобразуются сложными линейными и нелинейными фильтрами в цепочку всплесков на выходе. Опять же, модель пикового отклика или адаптивная модель «интегрировать и запустить» позволяют прогнозировать последовательность всплесков на выходе для произвольного зависящего от времени входа, тогда как искусственный нейрон или простой негерметичный интегрируй и запускай - нет.

Если мы возьмем модель Ходкгина-Хаксли в качестве отправной точки, обобщенные модели интегрирования и исключения могут быть получены систематически с помощью пошаговой процедуры упрощения. Это было явно показано для экспоненциальной модели интегрирования и включения и модели реакции на выбросы .

В случае моделирования биологического нейрона вместо абстракций, таких как «вес» и «передаточная функция», используются физические аналоги. Нейрон заполнен и окружен водой, содержащей ионы, несущие электрический заряд. Нейрон связан изолирующей клеточной мембраной и может поддерживать концентрацию заряженных ионов с обеих сторон, определяющую емкость C _m . Возбуждение нейрона включает движение ионов в клетку, которое происходит, когда нейротрансмиттеры заставляют ионные каналы на клеточной мембране открываться. Мы описываем это физическим зависящим от времени током I ( t ) . С этим происходит изменение напряжения или разности энергии электрического потенциала между клеткой и ее окружением, что иногда приводит к всплеску напряжения, называемому потенциалом действия, который проходит по длине клетки и запускает высвобождение дополнительных нейротрансмиттеров. Напряжение, в таком случае, представляет собой интересующую величину и выражается как V _m ( t ) .

Если входной ток постоянный, большинство нейронов после некоторого времени адаптации или начального взрыва излучают регулярную серию импульсов. Частота регулярного срабатывания в ответ на постоянный ток I описывается соотношением частота-ток, которое соответствует передаточной функции искусственных нейронных сетей. Точно так же для всех моделей нейронов с пиками передаточная функция может быть рассчитана численно (или аналитически). ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Теория кабеля и компартментные модели

Все вышеперечисленные детерминированные модели являются моделями точечных нейронов, поскольку они не учитывают пространственную структуру нейрона. Однако дендрит способствует преобразованию ввода в вывод. Модели точечных нейронов пригодны для описания в трех случаях. (i) Если входной ток вводится непосредственно в сому. (ii) Если синаптический вход поступает преимущественно в сому или близко к ней (близость определяется шкалой длины, представленной ниже. (iii) Если синапс поступает куда-либо на дендрит, но дендрит полностью линейен. В последнем случае кабель действует как линейный фильтр; эти свойства линейного фильтра могут быть включены в формулировку обобщенных моделей интегрирования и исключения, таких как модель пикового отклика . ${\ displaystyle \ lambda}$

Свойства фильтра можно рассчитать по уравнению кабеля .

Рассмотрим клеточную мембрану в виде цилиндрического кабеля. Положение на кабеле обозначено x, а напряжение на клеточной мембране - V. Кабель характеризуется продольным сопротивлением на единицу длины и сопротивлением мембраны . Если все линейно, напряжение изменяется как функция времени.${\ displaystyle r_ {l}}$${\ displaystyle r_ {m}}$

${\ displaystyle {\ frac {r_ {m}} {r_ {l}}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial x ^ {2}}} = c_ {m} r_ {m} {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + V}$

( 19 )

Мы вводим шкалу длины с левой стороны и постоянную времени с правой стороны. Теперь уравнение кабеля можно записать в его, пожалуй, самой известной форме:${\ displaystyle \ lambda ^ {2} = {r_ {m}} / {r_ {l}}}$${\ Displaystyle \ тау = c_ {m} r_ {m}}$

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial x ^ {2}}} = \ tau {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + V }$

( 20 )

Приведенное выше уравнение для кабеля справедливо для одиночного цилиндрического кабеля.

Теория линейного кабеля описывает дендритную ветвь нейрона как цилиндрическую структуру, подвергающуюся регулярному шаблону бифуркаций , как ветви в дереве. Для одного цилиндра или всего дерева статическая входная проводимость в основании (где дерево встречается с телом ячейки или любой такой границей) определяется как

${\ displaystyle G_ {in} = {\ frac {G _ {\ infty} \ tanh (L) + G_ {L}} {1+ (G_ {L} / G _ {\ infty}) \ tanh (L)}} }$,

где L - электротоническая длина цилиндра, которая зависит от его длины, диаметра и сопротивления. Простой рекурсивный алгоритм линейно масштабируется с количеством ветвей и может использоваться для вычисления эффективной проводимости дерева. Это дается

${\ Displaystyle \, \! G_ {D} = G_ {m} A_ {D} \ tanh (L_ {D}) / L_ {D}}$

где A _D = πld - общая площадь поверхности дерева общей длиной l , а L _D - его полная электротонная длина. Для всего нейрона, в котором проводимость тела клетки равна G _S, а проводимость мембраны на единицу площади равна G _md = G _m / A , мы находим общую проводимость нейрона G _N для n дендритных деревьев путем сложения проводимости всех деревьев и сомов, дано

${\ Displaystyle G_ {N} = G_ {S} + \ sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {D_ {j}} F_ {dga_ {j}},}$

где мы можем найти общий поправочный коэффициент F _dga экспериментально, указав G _D = G _md A _D F _dga .

Модель линейного кабеля делает ряд упрощений для получения закрытых аналитических результатов, а именно, что дендритная ветвь должна разветвляться уменьшающимися парами по фиксированному образцу и что дендриты являются линейными. Компартментная модель допускает любую желаемую топологию дерева с произвольными ветвями и длинами, а также произвольными нелинейностями. По сути, это дискретная вычислительная реализация нелинейных дендритов.

Каждая отдельная часть или отделение дендрита моделируется прямым цилиндром произвольной длины l и диаметра d, который соединяется с фиксированным сопротивлением с любым количеством разветвленных цилиндров. Определим соотношение проводимости я - го цилиндра , как B _я = G _я / G _∞ , где и R _я это сопротивление между текущей камеры и следующей. Мы получаем серию уравнений для коэффициентов проводимости внутри и вне отсека, внося поправки в нормальный динамический B _{out, i} = B _{in, i + 1} , как ${\ displaystyle G _ {\ infty} = {\ tfrac {\ pi d ^ {3/2}} {2 {\ sqrt {R_ {i} R_ {m}}}}}}$

• ${\ displaystyle B _ {\ mathrm {out}, i} = {\ frac {B _ {\ mathrm {in}, i + 1} (d_ {i + 1} / d_ {i}) ^ {3/2}} {\ sqrt {R _ {\ mathrm {m}, i + 1} / R _ {\ mathrm {m}, i}}}}}$
• ${\ displaystyle B _ {\ mathrm {in}, i} = {\ frac {B _ {\ mathrm {out}, i} + \ tanh X_ {i}} {1 + B _ {\ mathrm {out}, i} \ tanh X_ {i}}}}$
• ${\ displaystyle B _ {\ mathrm {out, par}} = {\ frac {B _ {\ mathrm {in, dau1}} (d _ {\ mathrm {dau1}} / d _ {\ mathrm {par}}) ^ {3 / 2}} {\ sqrt {R _ {\ mathrm {m, dau1}} / R _ {\ mathrm {m, par}}}}} + {\ frac {B _ {\ mathrm {in, dau2}} (d_ { \ mathrm {dau2}} / d _ {\ mathrm {par}}) ^ {3/2}} {\ sqrt {R _ {\ mathrm {m, dau2}} / R _ {\ mathrm {m, par}}}} } + \ ldots}$

где последнее уравнение относится к родителям и дочерям в филиалах, и . Мы можем повторять эти уравнения по дереву до тех пор, пока не получим точку, в которой дендриты соединяются с телом клетки (сомой), где коэффициент проводимости равен B _{in, стержень} . Тогда наша общая проводимость нейрона для статического входа определяется выражением ${\ displaystyle X_ {i} = {\ tfrac {l_ {i} {\ sqrt {4R_ {i}}}} {\ sqrt {d_ {i} R_ {m}}}}}$

${\ displaystyle G_ {N} = {\ frac {A _ {\ mathrm {soma}}} {R _ {\ mathrm {m, soma}}}} + \ sum _ {j} B _ {\ mathrm {in, stem} , j} G _ {\ infty, j}.}$

Важно отметить, что статический ввод - это особый случай. В биологии входные данные зависят от времени. Более того, дендриты не всегда линейны.

Компартментные модели позволяют учитывать нелинейности через ионные каналы, расположенные в произвольных местах вдоль дендритов. Для статических входов иногда можно уменьшить количество отсеков (увеличить скорость вычислений) и при этом сохранить основные электрические характеристики.

Предположения о роли нейрона в более широком контексте принципа работы мозга

Схема обнаружения энергии на основе нейротрансмиттеров

Схема обнаружения энергии на основе нейротрансмиттеров предполагает, что нервная ткань химически выполняет процедуру обнаружения, подобную радиолокационной.

Рис. 6. Схема биологического нейронного обнаружения, предложенная Nossenson et al.

Как показано на рис.6, ключевая идея гипотезы состоит в том, чтобы учесть концентрацию нейротрансмиттера, генерацию нейротрансмиттера и скорость удаления нейротрансмиттера как важные величины при выполнении задачи обнаружения, при этом относясь к измеренным электрическим потенциалам как к побочному эффекту, который только в определенных условия совпадают с функциональным назначением каждой ступени. Схема обнаружения аналогична радиолокационному «обнаружению энергии», потому что она включает возведение сигнала в квадрат, временное суммирование и механизм переключения порогов, как и детектор энергии, но также включает блок, который выделяет края стимула и переменную длину памяти ( переменная память). Согласно этой гипотезе, физиологическим эквивалентом статистики энергетического теста является концентрация нейротрансмиттера, а частота импульсов соответствует току нейротрансмиттера. Преимущество этой интерпретации заключается в том, что она приводит к единому последовательному объяснению, которое позволяет связать электрофизиологические измерения, биохимические измерения и психофизические результаты.

Доказательства, рассмотренные в, предполагают следующую связь между функциональностью и гистологической классификацией:

1. Возведение в квадрат стимула, вероятно, будет выполняться рецепторными клетками.
2. Подчеркивание краев стимула и передача сигнала осуществляется нейронами.
3. Накопление нейромедиаторов во времени осуществляется глиальными клетками. Кратковременное накопление нейромедиаторов также может происходить в некоторых типах нейронов.
4. Логическое переключение осуществляется глиальными клетками и является результатом превышения порогового уровня концентрации нейромедиатора. Это превышение порога также сопровождается изменением скорости утечки нейромедиатора.
5. Физическое переключение движения «все или без движения» происходит из-за мышечных клеток и является результатом превышения определенного порога концентрации нейромедиаторов в окружении мышц.

Обратите внимание, что хотя электрофизиологические сигналы на рисунке 6 часто похожи на функциональный сигнал (мощность сигнала / концентрация нейротрансмиттера / мышечная сила), есть некоторые этапы, на которых электрическое наблюдение отличается от функционального назначения соответствующего этапа. В частности, Nossenson et al. предположили, что пересечение порога глии имеет совершенно другое функциональное действие по сравнению с излучаемым электрофизиологическим сигналом, и что последний может быть только побочным эффектом разрыва глии.

Общие комментарии относительно современной перспективы научных и инженерных моделей

• Вышеупомянутые модели все еще являются идеализациями. Необходимо внести поправки на увеличенную площадь поверхности мембраны, обусловленную многочисленными дендритными шипами, температурами, значительно более высокими, чем экспериментальные данные при комнатной температуре, и неоднородностью внутренней структуры клетки. Некоторые наблюдаемые эффекты не укладываются в некоторые из этих моделей. Например, циклическое изменение температуры (с минимальным повышением чистой температуры) клеточной мембраны во время распространения потенциала действия несовместимо с моделями, которые полагаются на моделирование мембраны как сопротивления, которое должно рассеивать энергию, когда через нее протекает ток. Временное утолщение клеточной мембраны во время распространения потенциала действия также не предсказывается этими моделями, равно как и изменение емкости и скачка напряжения, возникающие в результате этого утолщения, не включены в эти модели. Действие некоторых анестетиков, таких как инертные газы, также проблематично для этих моделей. Новые модели, такие как солитонная модель, пытаются объяснить эти явления, но они менее развиты, чем старые модели, и еще не получили широкого применения.
• Современные взгляды на роль научной модели предполагают, что «все модели неверны, но некоторые полезны» (Box and Draper, 1987, Gribbin, 2009; Paninski et al., 2009).
• Недавнее предположение предполагает, что каждый нейрон может функционировать как набор независимых пороговых единиц. Предполагается, что нейрон может быть анизотропно активирован после происхождения поступающих на мембрану сигналов через его дендритные деревья. Было также предложено, чтобы форма волны спайка зависела от происхождения стимула.

внешние ссылки

• Нейрональная динамика: от отдельных нейронов к сетям и моделям познания (В. Герстнер, В. Кистлер, Р. Науд, Л. Панински, Cambridge University Press, 2014) . В частности, главы 6-10, онлайн-версия html .
• Пиковые модели нейронов (У. Герстнер и У. Кистлер, Cambridge University Press, 2002)

Смотрите также

• Связывающий нейрон
• Байесовские подходы к функции мозга
• Интерфейсы мозг-компьютер
• Принцип свободной энергии
• Модели нейронных вычислений
• Нейронное кодирование
• Нейронные колебания
• Количественные модели потенциала действия
• Пиковая нейронная сеть

использованная литература