Логическая двусмысленность - Logical biconditional

Диаграмма Венна из (истинная часть в красном)

В логике и математике , то логический biconditional , иногда известный как материала biconditional , является логическая связка ( ) используется для соединить два оператора P и Q , чтобы сформировать утверждение « P тогда и только тогда , когда Q », где Р известен как антецеденте , а Q - консеквент . Часто это сокращенно обозначается как « P iff Q ». Иногда можно увидеть и другие способы обозначения этого оператора, например, двунаправленную стрелку (↔ или ⇔ могут быть представлены в Юникоде по-разному), префикс E «E pq » (в обозначениях Лукасевича или Бохенского ), знак равенства (=), знак эквивалентности (≡) или EQV . Это логически эквивалентно как и , и логическому оператору XNOR (исключающее или) , что означает «оба или ни один».

Семантически единственный случай, когда логическое двусмысленное условие отличается от материального условного условия, - это случай, когда гипотеза ложна, но вывод верен. В этом случае результат будет истинным для условного, но ложным для двусмысленного.

В концептуальной интерпретации P = Q означает «Все P - это Q , а все Q - это P ». Другими словами, множества P и Q совпадают: они идентичны. Однако это не означает, что P и Q должны иметь одно и то же значение (например, P может быть «равносторонним трехугольником», а Q - «равносторонним треугольником»). При формулировке как предложение, предшествующий является предметом и , как следствие , является предикатом из универсального утвердительного предложения (например, во фразе «все люди смертны», «люди» является субъектом и «смертный» есть предикат).

В пропозициональной интерпретации означает, что P влечет Q, а Q влечет P ; Другими словами, предложения логически эквивалентны в том смысле, что оба они либо вместе истинны, либо вместе ложны. Опять же, это не означает, что они должны иметь одно и то же значение, поскольку P может означать «треугольник ABC имеет две равные стороны», а Q может означать «треугольник ABC имеет два равных угла». В общем, антецедент - это посылка или причина , а следствие - это следствие . Когда импликация переводится как гипотетическое (или условное ) суждение, антецедент называется гипотезой (или условием ), а следствие - тезисом .

Общий способ демонстрирует biconditional формы , чтобы продемонстрировать , что и по отдельности (из - за его эквивалентность к соединению два обратных условным ). Еще один способ продемонстрировать такое же двусмысленное выражение - это продемонстрировать, что и .

Когда оба члена двусмысленного выражения являются предложениями, его можно разделить на два условия, одно из которых называется теоремой, а другое - обратным . Таким образом, всякий раз, когда теорема и обратная ей теорема верны, у нас есть двоякое условие. Простая теорема порождает импликацию, антецедентом которой является гипотеза, а следствием - тезис теоремы.

Часто говорят, что гипотеза является достаточным условием тезиса, а тезис - необходимым условием гипотезы. То есть достаточно, чтобы гипотеза была верной, чтобы тезис был верным, в то время как необходимо, чтобы тезис был верным, если гипотеза верна. Когда теорема и обратная теорема верны, ее гипотеза считается необходимым и достаточным условием тезиса. То есть гипотеза является одновременно причиной и следствием тезиса.

Определение

Логическое равенство (также известное как двояковыпуклое) - это операция над двумя логическими значениями , обычно значениями двух предложений , которая производит значение истина тогда и только тогда, когда оба операнда ложны или оба операнда истинны.

Таблица истинности

Ниже приводится таблица истинности для (также записывается как , P = Q или P EQ Q ):

Т Т Т
Т F F
F Т F
F F Т

Когда задействовано более двух утверждений, их объединение с может быть неоднозначным. Например, заявление

можно интерпретировать как

,

или могут быть истолковано , как говорят , что все х я являюсь совместно истинным или ложным совместно :

Оказывается, эти два утверждения одинаковы только тогда, когда задействовано ноль или два аргумента. Фактически, следующие таблицы истинности показывают один и тот же битовый шаблон только в строке без аргументов и в строках с двумя аргументами:


означает эквивалент центральной диаграммы Венна ниже, а линия (ABC) в этой матрице представляет ту же операцию.





означает сокращение для диаграммы Венна непосредственно ниже, а линия (ABC) в этой матрице представляет ту же операцию.





Левая диаграмма Венна ниже и линии (AB) в этих матрицах представляют одну и ту же операцию.

Диаграммы Венна

Красные области означают истину (как Venn0001.svgдля и ).

Venn1001.svg
Biconditional из двух утверждений
является отрицанием из исключающих или :

Venn1001.svg Venn0110.svg

Венн 0110 1001.svg
Двуусловное и
исключающее или трех операторов
дают один и тот же результат:


Венн 1001 1001.svg Венн 0000 1111.svg

Венн 0110 0110.svg Венн 0000 1111.svg Венн 0110 1001.svg

Венн 1000 0001.svg
Но также может использоваться как сокращение для

Венн 1001 1001.svg Венн 1100 0011.svg Венн 1000 0001.svg

Характеристики

Коммутативность : Да

        
Venn1001.svg          Venn1001.svg

Ассоциативность : Да

        
Венн 0101 0101.svg Венн 1100 0011.svg          Венн 0110 1001.svg          Венн 1001 1001.svg Венн 0000 1111.svg

Распределимость : бикондиционная функция не распределяется по какой-либо бинарной функции (даже самой себе), но логическая дизъюнкция распределяется по биконусной.

идемпотентность : Нет

                 
Venn01.svg Venn01.svg          Venn11.svg          Venn01.svg

Монотонность : Нет

        
Венн 1011 1011.svg          Венн 1101 1011.svg          Венн 1010 0101.svg Венн 1100 0011.svg

Сохранение истины: Да.
Когда все входные данные верны, выход верен.

        
Venn0001.svg          Venn1001.svg

Сохранение ложности: Нет.
Когда все входные данные ложны, выход не является ложным.

        
Venn1001.svg          Venn0111.svg

Спектр Уолша : (2,0,0,2)

Non линейность : 0 (функция линейна)

Правила вывода

Как и все связки в логике первого порядка, у двусмысленного выражения есть правила вывода, которые регулируют его использование в формальных доказательствах.

Двузначное введение

Бикондиционное введение позволяет заключить, что если B следует из A, а A следует из B, то A тогда и только тогда, когда B.

Например, из утверждений «если я дышу, значит я жив» и «если я жив, то я дышу», можно сделать вывод, что «я дышу тогда и только тогда, когда я» м жив »или, что эквивалентно:« Я жив тогда и только тогда, когда я дышу ». Или схематичнее:

 B → A   
 A → B   
 ∴ A ↔ B
 B → A   
 A → B   
 ∴ B ↔ A

Двуусловное исключение

Бикондиционное исключение позволяет вывести условное выражение из биконусного: если A B истинно, то можно вывести либо A B, либо B A.

Например, если это правда, что я дышу, если и только если я жив, то это правда, что если я дышу, то я жив; Точно так же верно и то, что если я жив, значит, я дышу. Или схематичнее:

 A ↔ B  
 ∴ A → B
 A ↔ B  
 ∴ B → A

Разговорное использование

Одним из недвусмысленных способов обозначить двояковыпуклое слово на простом английском языке является использование формы « b, если a, и a, если b » - если стандартная форма « a if and only if b » не используется. Чуть более формально можно было бы также сказать, что « b подразумевает a, а a подразумевает b », или « a необходимо и достаточно для b ». Простое английское «if '» иногда может использоваться как двоякое (особенно в контексте математического определения). В этом случае при интерпретации этих слов необходимо принимать во внимание окружающий контекст.

Например, утверждение «Я куплю вам новый кошелек, если он вам понадобится» может быть истолковано как двоякое условие, поскольку говорящий не предполагает правильного результата покупки кошелька независимо от того, нужен кошелек или нет (как в условном). Однако «облачно, если идет дождь», как правило, не подразумевается как двоякое условие, поскольку может быть облачно, даже если нет дождя.

Смотрите также

Рекомендации

Внешние ссылки

Эта статья включает материал из Biconditional на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .