Банахово пространство - Banach space

В математике , точнее в функциональном анализе , банахово пространство (произносится[ˈBanax] ) - полное нормированное векторное пространство . Таким образом, банахово пространство - это векторное пространство с метрикой, которая позволяет вычислять длину вектора и расстояние между векторами, и является полным в том смысле, что последовательность векторов Коши всегда сходится к четко определенному пределу, который находится внутри пространства.

Пространства Банаха названы в честь польского математика Стефана Банаха , который представил это понятие и систематически изучал его в 1920–1922 годах вместе с Хансом Ханом и Эдуардом Хелли . Морис Рене Фреше был первым, кто использовал термин «пространство Банаха», а Банах, в свою очередь, ввел термин « пространство Фреше ». Банаховы первоначально вырос из исследования функциональных пространств с помощью Гильберта , Фреше и Рисса ранее в века. Банаховы пространства играют центральную роль в функциональном анализе. В других областях анализа исследуемые пространства часто являются банаховыми.

Определение

Банахово пространство является полное нормированное пространство нормированного пространства является пара , состоящая из векторного пространства над скалярным полем K (где K является или ) вместе с отмеченной нормой Подобно всем нормам, эта норма индуцирует перевод инвариантна функция расстояния , называется каноническая или ( норма ) индуцированная метрика , определяемая

для всех векторов Это делает метрическое пространство последовательность А называется -Cauchy или Коши или -Cauchy тогда и только тогда , когда для любого действительного существует некоторый индекс такой , что
всякий раз , когда и будут больше , чем Канонический метрика называется
полной метрикой , если пара является полным метрическим пространством , который с помощью определения для каждого - последовательность Коши в существует некоторая такая , что
где, поскольку сходимость этой последовательности может быть эквивалентно выражена как:

По определению, нормированное пространство является

банаховым пространством тогда и только тогда, когда оно является полным метрическим пространством , или, иначе говоря, тогда и только тогда, когда каноническая метрика является полной метрикой . Норма нормированного пространства называется полная норма тогда и только тогда, когдаявляется банаховым пространством.
L-полувнутренний продукт

Для любого нормированного пространства существует

L- полускалярное произведение («L» для Гюнтера Люмера ) на такое, что для всех ; в общем, может быть бесконечно много L-полускалярных произведений, удовлетворяющих этому условию. L-полускалярные произведения - это обобщение скалярных произведений , которые фундаментально отличает гильбертовы пространства от всех других банаховых пространств. Это показывает, что все нормированные пространства (и, следовательно, все банаховы пространства) можно рассматривать как обобщения (пред) гильбертовых пространств.

Топология

Каноническая метрика нормированного пространства индуцирует обычную

метрическую топологию, в которой эта топология , называемая канонической или индуцированной нормой топологией , превращается в метризуемое топологическое пространство Хаусдорфа . Автоматически предполагается, что каждое нормированное пространство несет эту топологию, если не указано иное. С этой топологией каждое банахово пространство является бэровским , хотя есть нормированные пространства, которые являются бэровскими, но не банаховыми.

Эта норма индуцированной топология является перевод инвариант, что означает , что для любого и подмножества является

открытой (соответственно замкнутой ) в том и только в том случае это верно Следовательно, норма индуцированной топология полностью определяется любыми окрестности основы в начале координат. Некоторые общие базы соседства в начале координат включают:
где - любая последовательность положительных действительных чисел in , сходящаяся к in (например, например), и где
являются соответственно открытым и закрытым шарами радиуса с центром в начале координат. Так, например, каждое открытое подмножество из может быть записана в виде объединения индексированного некоторого подмножества , где каждый представляет собой целое число; закрытый шар с центром в начале координат также можно использовать вместо открытого шара (хотя может потребоваться изменить подмножество и целые числа ).

Эта индуцированная нормой топология также превращается в так называемое

топологическое векторное пространство (TVS), которое по определению является векторным пространством, наделенным топологией, делающей операции сложения и скалярного умножения непрерывными. Подчеркивается, что TVS - это только векторное пространство вместе с определенным типом топологии; то есть, когда он рассматривается как TVS, он не связан с какой-либо конкретной нормой или метрикой (обе из которых « забываются »).

Полнота

Полные нормы и эквивалентные нормы

Две нормы в векторном пространстве называются эквивалентными тогда и только тогда, когда они индуцируют одну и ту же топологию. Если и - две эквивалентные нормы на векторном пространстве, то является банаховым пространством тогда и только тогда, когда является банаховым пространством. В этой сноске показан пример непрерывной нормы в банаховом пространстве, которая

не эквивалентна данной норме этого банахова пространства. Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны, и каждое конечномерное нормированное пространство является банаховым пространством.
Полные нормы vs полные метрики

Метрика в векторном пространстве индуцируется нормой в том и только в том случае, если она

инвариантна относительно сдвигов и абсолютно однородна , что означает, что для всех скаляров и всех, и в этом случае функция определяет норму в, а каноническая метрика, индуцированная с помощью , равна

Предположим , что нормированное пространство и топология нормой , индуцированный на Предположим , что есть

любая метрика на такое , что топология , которая индуцирует на Равен If есть перевод инвариант , то есть банахово пространство тогда и только тогда является полным метрическим пространством. Если это не перевод инвариант, то это может быть возможным , чтобы банахово пространство , но чтобы не быть полным метрическим пространством (см этого примечания для примера). Напротив, теорема Кли, которая также применима ко всем метризуемым топологическим векторным пространствам , подразумевает, что если существует какая-либо полная метрика на, которая индуцирует топологию нормы, то это банахово пространство.
Полные нормы против полных топологических векторных пространств

Существует еще одно понятие полноты, помимо метрической полноты, и это понятие полного топологического векторного пространства (TVS) или TVS-полноты, которое использует теорию равномерных пространств . В частности, понятие TVS-полноты использует уникальную трансляционно-инвариантную однородность , называемую канонической однородностью , которая зависит только от векторного вычитания и топологии , которой наделено векторное пространство, и, в частности, это понятие TVS-полноты является независимым. любой нормы, вызванной топологией (и даже применимо к TVS, которые даже

не являются метризуемыми). Каждое банахово пространство - это полная ТВС. Более того, нормированное пространство является банаховым пространством (т. Е. Его индуцированная нормой метрика является полной) тогда и только тогда, когда оно полно как топологическое векторное пространство. Если это метризуемое топологическое векторное пространство (где отмечают , что каждая норма индуцированная топология метризуема), то является полным TVS тогда и только тогда , когда это последовательно полный TVS, а это означает , что достаточно проверить , что каждая фундаментальна последовательность в сходится в к некоторой точке (т.е. нет необходимости рассматривать более общее понятие произвольных сетей Коши ).

Если является топологическим векторным пространством,

топология которого индуцирована некоторой (возможно, неизвестной) нормой , то является полным топологическим векторным пространством тогда и только тогда, когда может быть назначена норма, которая индуцирует на топологии, а также превращается в банахово пространство. Хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство является нормируемым , если и только если его сильное сопряженное пространство является нормируемым, и в этом случае представляет собой банахово пространство ( обозначает сильное сопряженное пространство из которого топологии является обобщением двойной нормой индуцированной топологии на непрерывной двойной пробел ; см. эту сноску для более подробной информации). Если является метризуемым локально выпуклым ТВП , то нормируем тогда и только тогда, когда является пространством Фреше – Урысона . Это показывает, что в категории локально выпуклых TVS банаховы пространства - это как раз те полные пространства, которые метризуемы и имеют метризуемые сильные двойственные пространства .
Характеристика по сериям

Структура векторного пространства позволяет связать поведение последовательностей Коши с поведением сходящихся серий векторов . Нормированное пространство является банаховым тогда и только тогда, когда каждый

абсолютно сходящийся ряд в сходится в

Завершено

Каждое нормированное пространство может быть изометрически вложено в плотное векторное подпространство некоторого банахова пространства, где это банахово пространство называется пополнением нормированного пространства. Это хаусдорфово пополнение единственно с точностью до изометрического изоморфизма.

Точнее, для каждого нормированного пространства существует банахово пространство и отображение, такое, что является

изометрическим отображением и плотно в Если есть другое банахово пространство такое, что существует изометрический изоморфизм из на плотное подмножество, то изометрически изоморфно этому банаху пространство - это завершение нормированного пространства . Базовое метрическое пространство для такое же, как и метрическое завершение с операциями векторного пространства, расширенными с до . Завершение часто обозначается как

Общая теория

Линейные операторы, изоморфизмы

Если X и Y - нормированные пространства над одним и тем же основным полем, то множество всех

непрерывно- линейных отображений обозначается B ( X , Y ) . В бесконечномерных пространствах не все линейные отображения непрерывны. Линейное отображение из нормированного пространства X в другое нормированное пространство непрерывно тогда и только тогда , когда она ограничена на замкнутом единичном шаре в X . Таким образом, векторному пространству B ( X , Y ) можно задать операторную норму

Для банахова пространства Y пространство B ( X , Y ) является банаховым пространством относительно этой нормы.

Если X - банахово пространство, оно образует банахову алгебру с единицей ; операция умножения задается композицией линейных отображений.

Если X и Y - нормированные пространства, они являются изоморфными нормированными пространствами, если существует линейная биекция такая, что T и обратное к нему непрерывны. Если одно из двух пространств X или Y является полным (или рефлексивным , сепарабельным и т. Д.) , То также и другое пространство. Два нормированные пространства Х и Y являются изометрически изоморфными , если кроме того, Т является изометрией , то есть, для каждого х в X . Расстояние Банаха – Мазура между двумя изоморфными, но не изометрическими пространствами X и Y дает меру того, насколько два пространства X и Y различаются.

Непрерывные и ограниченные линейные функции и полунормы

Каждый непрерывный линейный оператор является ограниченным линейным оператором, и если речь идет только о нормированных пространствах, то верно и обратное. То есть линейный оператор между двумя нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он является непрерывной функцией . Так, в частности, поскольку скалярное поле (которое является или ) является нормированным пространством, линейный функционал на нормированном пространстве является ограниченным линейным функционалом тогда и только тогда, когда он является непрерывным линейным функционалом . Это позволяет применять к банаховым пространствам результаты, относящиеся к непрерывности (подобные приведенным ниже). Хотя ограниченность - это то же самое, что и непрерывность для линейных отображений между нормированными пространствами, термин «ограниченный» чаще используется при работе с банаховыми пространствами.

Если это субаддитивная функция (например, норма, в функции сублинейной , или реальная линейным функционал), то есть непрерывно в нуле тогда и только тогда , когда это равномерно непрерывен на всех ; а если вдобавок, то является непрерывным тогда и только тогда, когда его абсолютное значение непрерывно, что происходит тогда и только тогда, когда это открытое подмножество. Из применения этого к нему следует, что норма всегда является непрерывным отображением . И, что очень важно для применения теоремы Хана-Банаха , линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда это верно для его действительной части и, более того, и действительная часть полностью определяет, поэтому теорема Хана-Банаха часто формулируется только для действительной части. линейные функционалы. Кроме того, линейный функционал на непрерывен тогда и только тогда, когда полунорма непрерывна, что происходит тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма такая, что ; это последнее утверждение, включающее линейный функционал и полунорму , встречается во многих версиях теоремы Хана-Банаха.

Основные понятия

Декартово произведение двух нормированных пространств канонически не оснащено нормой. Однако обычно используются несколько эквивалентных норм, например

и порождают изоморфные нормированные пространства. В этом смысле продукт (или прямая сумма ) является полным тогда и только тогда, когда два фактора являются полными.

Если M - замкнутое линейное подпространство нормированного пространства, то на фактор-пространстве существует естественная норма

Фактор - это банахово пространство, когда оно полно. Карта частное от на отправку в своем классе является линейным, на и имеет норму 1 , за исключением того, когда в этом случае фактор является нуль - пространство.

Замкнутое линейное подпространство в , как говорит, являются дополняемым подпространством в , если это диапазон из сюръективной ограниченной линейной проекции В этом случае пространство изоморфно прямой сумму М и ядро проекции

Предположим , что и банаховы и что Там существует каноническое разложение в качестве

где первая карта - это карта частных, а вторая карта отправляет каждый класс в частном изображению в. Это хорошо определено, потому что все элементы в одном классе имеют одно и то же изображение. Отображение является линейной биекцией из на диапазон , обратный которому не нужно ограничивать.

Классические пространства

Основные примеры банаховых пространств включают: пространства Lp и их частные случаи, пространства последовательностей, которые состоят из скалярных последовательностей, индексированных натуральными числами ; среди них, пространство в абсолютно суммируемых последовательностей и пространства суммируемых с квадратом последовательностей; пространство последовательностей, стремящихся к нулю, и пространство ограниченных последовательностей; пространство непрерывных скалярных функций на компактном хаусдорфовом пространстве с максимальной нормой,

Согласно теореме Банаха-Мазура , каждое банахово пространство изометрически изоморфно подпространству некоторого Для каждого сепарабельном банаховом пространстве X существует замкнутое подпространство из таких , что

Любое гильбертово пространство служит примером банахова пространства. Гильбертово пространство на полно для нормы вида

куда
- это внутренний продукт , линейный по первому аргументу, который удовлетворяет следующим условиям:

Например, это гильбертово пространство.

В Hardy пространства , то пространства Соболева являются примерами банаховых пространств, которые связаны с пространствами и имеет дополнительную структуру. Они важны в различных областях анализа, среди прочего , в гармоническом анализе и уравнениях с частными производными .

Банаховы алгебры

Банахов алгебра банахов пространство над или вместе со структурой алгебры над , например , что отображение продукта является непрерывным. Эквивалентную норму можно найти так, чтобы для всех

Примеры

  • Банахово пространство с поточечным произведением является банаховой алгеброй.
  • Диска алгебра ( D ) состоит из функций , голоморфных в единичном круге открытого и непрерывных на его закрытии : D . Дисковая алгебра A ( D ) с максимальной нормой на D является замкнутой подалгеброй в C ( D ) .
  • Винер алгебра ( Т ) есть алгебра функций на единичной окружности Т с абсолютно сходящимся рядом Фурье. Через отображение, связывающее функцию на T с последовательностью ее коэффициентов Фурье, эта алгебра изоморфна банаховой алгебре, где произведение является сверткой последовательностей.
  • Для любого банахова пространства X пространство B ( X ) линейных ограниченных операторов на X с композицией отображений в качестве произведения является банаховой алгеброй.
  • С * -алгебра является комплексное банахово алгебра А с антилинейной инволюции таким образом, что пространство B ( H ) ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве Н является фундаментальным примером C * -алгебры. Теорема Гельфанда – Наймарка утверждает, что любая C * -алгебра изометрически изоморфна C * -подалгебре некоторой B ( H ) . Пространство комплексных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве является примером коммутативной C * -алгебры, где инволюция сопоставляет каждой функции ее комплексно сопряженную

Двойное пространство

Если X - нормированное пространство и лежащее в основе поле ( действительное или комплексное число ), непрерывное двойственное пространство - это пространство непрерывных линейных отображений из X в или непрерывных линейных функционалов . Обозначения для непрерывного дуального находятся в этой статье. Так как банахово пространство (используя абсолютное значение в качестве нормы), сопряженное Х  ' представляет собой банахово пространство, для каждого нормированного пространства X .

Основным инструментом доказательства существования непрерывных линейных функционалов является теорема Хана – Банаха .

Теорема Хана – Банаха. Пусть X - векторное пространство над полем Пусть далее
Тогда существует такой линейный функционал, что

В частности, любой непрерывный линейный функционал на подпространстве нормированного пространства можно непрерывно продолжить на все пространство без увеличения нормы функционала. Важным частным случаем является следующий: для каждого вектора x в нормированном пространстве X существует непрерывный линейный функционал на X такой, что

Когда x не равен вектору 0 , функционал должен иметь норму, равную единице, и называется нормирующим функционалом для x .

Теорема Хана – Банаха об отделимости утверждает, что два непересекающихся непустых выпуклых множества в вещественном банаховом пространстве, одно из которых открыто, можно разделить замкнутой аффинной гиперплоскостью . Открытое выпуклое множество лежит строго по одну сторону от гиперплоскости, второе выпуклое множество лежит по другую сторону, но может касаться гиперплоскости.

Подмножество S в банаховом пространстве X является общей , если линейная оболочка из S является плотным в X . Подмножество S тотально в X тогда и только тогда, когда единственный непрерывный линейный функционал, обращающийся в нуль на S, является 0- функционалом: эта эквивалентность следует из теоремы Хана – Банаха.

Если Х есть прямая сумма двух замкнутых линейных подпространств М и N , то сопряженное X  ' в X изоморфна прямой сумме двойников M и N . Если M - замкнутое линейное подпространство в X , можно связать ортогональный M в двойственном,

Ортогонал - это замкнутое линейное подпространство двойственного. Двойник к M изометрически изоморфен Двойственный к изометрически изоморфен

Двойственное к сепарабельному банахову пространству не обязательно должно быть сепарабельным, но:

Теорема. Пусть X - нормированное пространство. Если X  ' является разъемным , тем X отделимо.

Когда Х  ' отделимы, вышеуказанный критерий для совокупности может быть использован для доказательства существования счетного общего подмножества в X .

Слабые топологии

Слабая топология на банаховое пространстве X является грубой топологией на X , для которой все элементы в непрерывном сопряженном пространстве являются непрерывными. Таким образом, нормальная топология более тонкая, чем слабая. Из теоремы Хана – Банаха об отделимости следует, что слабая топология хаусдорфова , и что замкнутое по норме выпуклое подмножество банахова пространства также является слабо замкнутым. Норма-непрерывное линейное отображение между двумя банаховых пространств X и Y также слабо непрерывен , т.е. непрерывно из слабой топологии X в том , что из Y .

Если X бесконечномерно, существуют линейные отображения, которые не являются непрерывными. Пространство всех линейных отображений из X в базовое поле (это пространство называется алгебраическим двойственным пространством , чтобы отличить его от него, также индуцирует топологию на X, которая тоньше, чем слабая топология, и гораздо реже используется в функциональном анализе.

В сопряженном пространстве существует топология более слабая, чем слабая топология X  ′ , называемая слабой * топологией . Это грубая топология , для которой все оценки карты , где пробегает непрерывны. Его важность проистекает из теоремы Банаха – Алаоглу .

Теорема Банаха – Алаоглу. Пусть X - нормированное векторное пространство . Тогда замкнутый единичный шар сопряженного пространства компактен в слабой * топологии.

Теорема Банаха – Алаоглу может быть доказана с помощью теоремы Тихонова о бесконечных произведениях компактных хаусдорфовых пространств. Когда X отделимо, единичный шар B  ′ дуального является метризуемым компактом в слабой * топологии.

Примеры двойственных пространств

Двойственный к изометрически изоморфен : для каждого ограниченного линейного функционала на существует единственный элемент такой, что

Двойник к изометрически изоморфен }. Двойственное пространство Лебега изометрически изоморфно когда и

Для каждого вектора в гильбертовом пространстве отображение

определяет непрерывный линейный функционал на Теорема о представлении Рисса утверждает, что каждый непрерывный линейный функционал на H имеет форму для однозначно определенного вектора в . Отображение является антилинейной изометрической биекцией из H на двойственный ему H  ' . Когда скаляры действительны, это отображение является изометрическим изоморфизмом.

Когда - компактное хаусдорфово топологическое пространство, двойственное к - пространство мер Радона в смысле Бурбаки. Подмножество P ( K ) в M ( K ), состоящее из неотрицательных мер массы 1 ( вероятностных мер ), является выпуклым w * -замкнутым подмножеством единичного шара в M ( K ) . В крайних точках из P ( K ) являются мерами Дирака на K . Множество мер Дирака на К , наделенное ш * -топологии, является гомеоморфно к K .

Теорема Банаха – Стоуна. Если K и L являются бикомпакты и еслииизометрически изоморфны, то топологические пространства K и L являются гомеоморфно .

Результат был расширен Amir и Cambern к случаю , когда мультипликативный Банаха-Мазур между и является <2 . Теорема больше не верна, когда расстояние = 2 .

В коммутативных банаховых алгебры с максимальными идеалами являются именно Ядром мер Дирака на К ,

В более общем смысле, по теореме Гельфанда – Мазура максимальные идеалы унитальной коммутативной банаховой алгебры могут быть отождествлены с ее характерами - не просто как множества, но как топологические пространства: первые с топологией оболочки-ядра, а вторые с топологией w * -топология. В этом отождествлении максимальное идеальное пространство можно рассматривать как aw * -компактное подмножество единичного шара в двойственном A  ' .

Теорема. Если K является Бикомпактом, того пространство максимальных идеалов Ξ банаховых алгебр является гомеоморфно к K .

Не каждый унитальная коммутативная банахова алгебра имеет вид для некоторого бикомпакта К . Однако это утверждение верно, если поместить в меньшую категорию коммутативных C * -алгебр . Теорема Гельфанда о представлении коммутативных C * -алгебр утверждает, что каждая коммутативная унитальная C * -алгебра A изометрически изоморфна пространству. Хаусдорфова компактное пространство K здесь снова пространство максимальных идеалов, также называемый спектром из А в С * контекстом -алгебры.

Двунаправленный

Если X - нормированное пространство, (непрерывное) двойственное к двойственному называетсядвунаправленный , иливторой двойственный к Для любого нормированного пространстваXсуществует естественное отображение,

Это определяется как непрерывный линейный функционал на том, что элемент карты является линейным отображением из X в Как следствие существования нормирующего функционала для каждого, это отображение изометрично, а значит, инъективно .

Например, двойственное к отождествляется с, а двойственное к отождествляется с пространством ограниченных скалярных последовательностей. Под этими отождествлениями находится карта включения из в. Она действительно изометрична, но не в.

Если это сюръективны , то нормированное пространство X называется рефлексивным (см ниже ). Будучи дуальным к нормированному пространству, бидуал является полным, поэтому каждое рефлексивное нормированное пространство является банаховым пространством.

Используя изометрическое вложение, принято рассматривать нормированное пространство X как подмножество его двузначного числа. Когда X - банахово пространство, оно рассматривается как замкнутое линейное подпространство в. Если X не рефлексивно, единичный шар X является собственным подмножеством единичного шара . Теорема Голдстайна утверждает, что единичный шар нормированного пространства слабо * -плотный в единицу балла бидуала. Другими словами, для каждого в бидуале существует сеть в X, так что

Сеть может быть заменена слабо * -сходящейся последовательностью, когда дуал отделим. С другой стороны, элементы бидуала , не входящие в , не могут быть слабым * -пределом последовательностей в, поскольку являются слабо последовательно завершенными .

Теоремы Банаха

Вот основные общие результаты о банаховых пространствах, которые восходят к временам книги Банаха ( Banach (1932) ) и связаны с теоремой Бэра о категориях . Согласно этой теореме полное метрическое пространство (такое как банахово пространство, пространство Фреше или F-пространство ) не может быть равно объединению счетного числа замкнутых подмножеств с пустыми внутренностями . Следовательно, банахово пространство не может быть объединением счетного числа замкнутых подпространств, если оно уже не равно одному из них; банахово пространство со счетным базисом Гамеля конечномерно.

Теорема Банаха – Штейнгауза. Пусть X - банахово пространство, а Y - нормированное векторное пространство . Предположимчто F представляет собой совокупность непрерывных линейных операторов из X в Y . Принцип равномерной ограниченности утверждаетчто если для всех х в X мы имеемто

Теорема Банаха – Штейнгауза не ограничивается банаховыми пространствами. Он может быть расширен, например , в случае , когда Х представляет собой пространство Фреше , при условии , что вывод изменяется следующим образом : в соответствии с той же гипотезе, существует окрестность U от 0 в X такой , что все Т в F равномерно ограничены на U ,

Теорема об открытом отображении. Пусть X и Y - банаховы пространства исюръективный непрерывный линейный оператор, тогда T - открытое отображение.
Следствие. Каждый взаимно однозначный ограниченный линейный оператор из банахова пространства в банахово пространство является изоморфизмом.
Первая теорема об изоморфизме банаховых пространств. Предположим , что X и Y банаховы пространства и что Предположим далее , что диапазон Т замкнуто в Y . Тогда изоморфен

Этот результат является прямым следствием предыдущей теоремы об изоморфизме Банаха и канонической факторизации ограниченных линейных отображений.

Следствие. Если банахово пространство X является внутренней прямой суммой замкнутых подпространств, то X изоморфно

Это еще одно следствие теоремы Банаха об изоморфизме, примененное к непрерывной биекции из на X, отправляющей сумму

Теорема о замкнутом графе. Позвольтебыть линейным отображением между банаховыми пространствами. График T замкнут втом и только том случае, если T непрерывен.

Рефлексивность

Нормированное пространство X называется рефлексивным, если естественное отображение

сюръективно. Рефлексивные нормированные пространства - это банаховы пространства.
Теорема. Если X - рефлексивное банахово пространство, каждое замкнутое подпространство X и каждое фактор-пространство X рефлексивны.

Это следствие теоремы Хана – Банаха. Далее, по теореме об открытом отображении, если существует ограниченный линейный оператор из банахова пространства X на банахово пространство Y , то Y рефлексивен.

Теорема. Если X - банахово пространство, то X рефлексивно тогда и только тогда, когда X  ′ рефлексивно.
Следствие. Пусть X - рефлексивное банахово пространство. Тогда X является отделимы тогда и только тогда , когда X  ' отделимо.

В самом деле, если двойственное Y  ′ банахова пространства Y сепарабельно, то Y сепарабельно. Если X рефлексивно и сепарабельно, то двойственное к X  ′ сепарабельно, поэтому X  ′ сепарабельно.

Теорема. Предположим, что это нормированные пространства и что Then X рефлексивно тогда и только тогда, когда каждое рефлексивно.

Гильбертовы пространства рефлексивны. Пространства L p рефлексивны, когда в более общем плане равномерно выпуклые пространства рефлексивны по теореме Мильмана – Петтиса . Пространства не рефлексивны. В этих примерах нерефлексивных пространства X , то бидуальный X  '' является «гораздо больше» , чем X . А именно, при естественном изометрическом вложении X в X  ′ ′, заданном теоремой Хана – Банаха, фактор-группа X  ′ ′ /  X бесконечномерна и даже неразделима. Однако Роберт С. Джеймс построил пример нерефлексивного пространства, обычно называемого « пространством Джеймса » и обозначаемого J , такое, что фактор J  ′ ′ /  J одномерный. Более того, это пространство J изометрически изоморфно своему бидуалу.

Теорема. Банахово пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда его единичный шар компактен в слабой топологии .

Когда X рефлексивно, то отсюда следует , что все замкнутые и ограниченные выпуклые подмножества из X слабо компактны. В гильбертовом пространстве H слабая компактность единичного шара очень часто используется следующим образом: любая ограниченная последовательность в H имеет слабо сходящиеся подпоследовательности.

Слабая компактность единичного шара дает инструмент для поиска решений в рефлексивных пространствах некоторых задач оптимизации . Например, каждая выпуклая непрерывная функция на единичном шаре B рефлексивного пространства достигает своего минимума в некоторой точке B .

Как частный случай предыдущего результата, когда X представляет собой рефлексивное пространство над любым непрерывным линейным функционалом в X  ' достигает свой максимум на единичном шаре X . Следующая теорема Роберта С. Джеймса дает обратное утверждение.

Теорема Джеймса. Для банахова пространства следующие два свойства эквивалентны:
  • X рефлексивен.
  • для всех в существует с тем чтобы

Теорема может быть расширена, чтобы дать характеристику слабо компактных выпуклых множеств.

На каждом нерефлексивном банаховом пространстве X существуют непрерывные линейные функционалы, не достигающие нормы . Тем не менее, епископ - Фелпс теорема утверждает , что норма-достижения функционалы нормы плотны в двойственной X  ' в X .

Слабые сходимости последовательностей

Последовательность в банаховом пространстве X является слабо сходится к вектору , если сходится к для каждого непрерывного линейного функционала в сопряженном X  ' . Последовательность является слабо последовательностью Коши, если сходится к скалярному пределу для каждого в X  ' . Последовательность в двойственном X  ' является слабо * сходится к функциональным , если сходится к для каждого х в X . Слабые последовательности Коши, слабо сходящиеся и слабо * сходящиеся последовательности ограничены по норме как следствие теоремы Банаха – Штейнгауза .

Когда последовательность в X является слабо последовательностью Коши, предел L выше определяет ограниченный линейный функционал на двойственном X  ' , то есть элемент L двузначного числа X , и L является пределом в слабой * -топологии бидуала. Банахово пространство X является слабо секвенциально полным, если каждая слабо сходящаяся в X последовательность Коши . Из предыдущего обсуждения следует, что рефлексивные пространства слабо секвенциально полны.

Теорема. Для каждой меры пространство слабо секвенциально полно.

Ортонормированная последовательность в гильбертовом пространстве - простой пример слабо сходящейся последовательности с пределом, равным вектору 0 . Единичный вектор основа из для или является еще одним примером слабо последовательности нуля , т.е. последовательности , которая слабо сходится к 0 . Для каждой слабо нулевой последовательности в банаховом пространстве существует последовательность выпуклых комбинаций векторов из данной последовательности, сходящаяся по норме к 0 .

Базис единичных векторов не является слабым Коши. Слабо последовательности Коши в слабо сходятся, так как L 1 -пространства слабо секвенциально полны. На самом деле, слабо сходящиеся последовательности в сходятся по норме. Это означает, что удовлетворяет свойству Шура .

Результаты на основе

Последовательности Слабо Коши и базис являются противоположными случаями дихотомии, установленной в следующем глубоком результате Х. П. Розенталя.

Теорема. Пусть - ограниченная последовательность в банаховом пространстве. Либо имеет слабо подпоследовательность Коши, либо допускает подпоследовательность, эквивалентную стандартному базису единичных векторов

Дополнение к этому результату принадлежит Odell and Rosenthal (1975).

Теорема. Пусть X - сепарабельное банахово пространство. Следующие варианты эквивалентны:
  • Пространство X не содержит замкнутого подпространства, изоморфного
  • Каждый элемент бидуальных X  '' является слабым * -пределом последовательности в X .

По теореме Goldstine, каждый элемент единичного шара B  '' из X  ' слабо * -предел сети в единичном шаре X . Когда Й не содержат каждый элемент B  '' является слабым * -пределом из последовательности в единичном шаре X .

Когда банахово пространство X сепарабельно, единичный шар двойственного X  ′ , снабженный слабой * -топологией, является метризуемым компактным пространством K , и каждый элемент x  ′ ′ в двумерном X  ′ ′ определяет ограниченную функцию на K :

Эта функция является непрерывной для компактной топологии K тогда и только тогда, когда x  ′ ′ действительно находится в X , рассматриваемом как подмножество X  ′ ′ . Предположим дополнительно для оставшейся части абзаца, что X не содержит. Согласно предыдущему результату Оделла и Розенталя, функция x  ′ ′ является поточечным пределом на K последовательности непрерывных функций на K , следовательно, это первый класс Бэра. функция на K . Единичный шар бидуального является точечно компактным подмножеством первого класса Бэра на K .

Последовательности, слабая и слабая * компактность

Когда X сепарабельно, единичный шар двойственного элемента является слабым * -компактным по Банаху – Алаоглу и метризуем для слабой * топологии, следовательно, каждая ограниченная последовательность в двойственном элементе имеет слабо * сходящиеся подпоследовательности. Это применимо к сепарабельным рефлексивным пространствам, но в этом случае верно больше, как указано ниже.

Слабая топология банахова пространства X метризуема тогда и только тогда, когда X конечномерно. Если двойственное X  ′ сепарабельно, слабая топология единичного шара X метризуема. В частности, это относится к сепарабельным рефлексивным банаховым пространствам. Хотя слабая топология единичного шара, вообще говоря, не является метризуемой, слабую компактность можно охарактеризовать с помощью последовательностей.

Теорема Эберлейна – Шмулиана . Множество A в банаховом пространстве относительно слабо компактно тогда и только тогда, когда каждая последовательность { a n } в A имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.

Банахово пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая ограниченная последовательность в X имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.

Слабо компактное подмножество A in компактно по норме. Действительно, каждая последовательность в A имеет слабо сходящиеся подпоследовательности по Эберлейну – Шмулиану, сходящиеся по норме в силу свойства Шура последовательности

Базы Шаудера

Шаудер базис в банаховом пространстве X представляет собой последовательность векторов в X со свойством , что для любого вектора х в X , существуют однозначно определенные скаляры в зависимости от х , таким образом, что

Банаховы пространства с базисом Шаудера обязательно отделимы , потому что счетное множество конечных линейных комбинаций с рациональными коэффициентами (скажем) плотно.

Это следует из теоремы Банаха-Штейнгауза , что линейные отображения { Р п } равномерно ограничены некоторой константой С . Пусть { e
n
}
Обозначит функционалы, правопреемник к каждой координате х в X координаты по й в указанном выше разложении. Их называют биортогональными функционалами . Когда базисные векторы имеют норму 1 , координатные функционалы { e
n
}
Имеет норму в двойственном X .

Большинство классических сепарабельных пространств имеют явные базы. Система Хаара является основой для The тригонометрической системы является базисом в L р ( Т ) , когда Шаудер является базисом в пространстве C ([0, 1]) . Вопрос о том, имеет ли дисковая алгебра A ( D ) базис, оставался открытым более сорока лет, пока Бочкарев в 1974 году не показал, что A ( D ) допускает базис, построенный из системы Франклина .

Поскольку каждый вектор x в банаховом пространстве X с базисом является пределом P n ( x ) , с P n конечного ранга и равномерно ограниченным, пространство X удовлетворяет свойству ограниченной аппроксимации . Первый пример Энфло пространства, не обладающего свойством аппроксимации, был в то же время первым примером сепарабельного банахова пространства без базиса Шаудера.

Роберт С. Джеймс охарактеризовал рефлексивность в банаховых пространствах с базисом: пространство X с базисом Шаудера рефлексивно тогда и только тогда, когда базис одновременно сжимающийся и ограниченно полный . В этом случае биортогональных функционалы образуют базис двойственной X .

Тензорное произведение

Тензор-диаграммаB.jpg

Позвольте и быть два -векторных пространств. Тензорное произведение из и является -векторным пространством с отображением билинейного , имеющим следующее универсальное свойство :

Если - любое билинейное отображение в -векторное пространство, то существует единственное линейное отображение такое, что

Изображение пары в обозначается и называется простым тензором . Каждый элемент в является конечной суммой таких простых тензоров.

Существуют различные нормы, которые могут быть помещены в тензорное произведение лежащих в основе векторных пространств, в том числе проективная кросс-норма и инъективная кросс-норма, введенная А. Гротендиком в 1955 году.

В общем случае тензорное произведение полных пространств снова не является полным. При работе с банаховыми пространствами принято говорить, что проективное тензорное произведение двух банаховых пространств и является пополнением алгебраического тензорного произведения, снабженного проективной тензорной нормой, и аналогично для инъективного тензорного произведения Гротендик доказал, в частности, что

где - компактное хаусдорфово пространство, банахово пространство непрерывных функций от до и пространство измеримых по Бохнеру и интегрируемых функций от до и где изоморфизмы изометричны. Два изоморфизма выше являются соответствующими расширениями карты, переводящей тензор в вектор-функцию

Тензорные произведения и свойство аппроксимации

Позвольте быть банаховым пространством. Тензорное произведение изометрически отождествляется с замыканием множества операторов конечного ранга. Когда имеет свойство аппроксимации , это замыкание совпадает с пространством компактных операторов на

Для каждого банахова пространства существует линейное отображение с естественной нормой

полученное расширением тождественного отображения алгебраического тензорного произведения. Гротендик связал проблему аппроксимации с вопросом о том, является ли это отображение взаимно однозначным, когда оно является двойственным к Точно, для каждого банахова пространства отображение
взаимно однозначно тогда и только тогда, когда имеет свойство аппроксимации.

Гротендик предположил, что и должны быть разными, когда и являются бесконечномерными банаховыми пространствами. Это было опровергнуто Жилем Пизье в 1983 году. Пизье построил бесконечномерное банахово пространство такое, что и равны. Более того, как и в случае с Энфло , это пространство является «сделанным вручную» пространством, которое не обладает свойством аппроксимации. С другой стороны, Шанковский доказал, что классическое пространство не обладает свойством аппроксимации.

Некоторые результаты классификации

Характеризации гильбертова пространства среди банаховых пространств

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы норма банахова пространства была связана со скалярным произведением, является тождество параллелограмма :

для всех

Отсюда, например, следует, что пространство Лебега является гильбертовым пространством только тогда, когда это тождество удовлетворяется, связанный внутренний продукт задается тождеством поляризации . В случае реальных скаляров это дает:

Для сложных скаляров определение внутреннего произведения так, чтобы оно было линейным по антилинейности в тождестве поляризации, дает:

Чтобы убедиться в том, что закона параллелограмма достаточно, нужно наблюдать в реальном случае, который является симметричным, а в сложном случае - что он удовлетворяет свойству эрмитовой симметрии, а из закона параллелограмма следует, что он является аддитивным в. Отсюда следует, что он линейен по рациональным числам. , таким образом, линейный по непрерывности.

Доступны несколько характеристик пространств, изоморфных (а не изометричных) гильбертовым пространствам. Закон параллелограмма может быть расширен более чем на два вектора и ослаблен введением двустороннего неравенства с константой : Квапень доказал, что если

для любого целого числа и всех семейств векторов банахово пространство X изоморфно гильбертову пространству. Здесь, означает среднее по возможному выбору знаков. В той же статье Квапень доказал, что справедливость банаховозначной теоремы Парсеваля для преобразования Фурье характеризует банаховы пространства, изоморфные гильбертовым пространствам.

Линденштраус и Цафрири доказали, что банахово пространство, в котором каждое замкнутое линейное подпространство дополняется (то есть является образом ограниченного линейного проектора), изоморфно гильбертову пространству. Доказательство опирается на теорему Дворецкого о евклидовых сечениях многомерных центрально-симметричных выпуклых тел. Другими словами, теорема Дворецкого утверждает, что для любого целого числа любое конечномерное нормированное пространство с размерностью, достаточно большой по сравнению с, содержит подпространства, почти изометричные -мерному евклидову пространству.

Следующий результат дает решение так называемой задачи об однородном пространстве . Бесконечномерное банахово пространство называется

однородным, если оно изоморфно всем своим бесконечномерным замкнутым подпространствам. Банахово пространство, изоморфное пространству , однородно, и Банах требовал обратного.
Теорема. Банахово пространство, изоморфное всем своим бесконечномерным замкнутым подпространствам, изоморфно сепарабельному гильбертову пространству.

Бесконечномерное банахово пространство наследственно неразложимо, если никакое его подпространство не может быть изоморфно прямой сумме двух бесконечномерных банаховых пространств. Теорема о дихотомии Гауэрса утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство X содержит либо подпространство Y с безусловным базисом , либо наследственно неразложимое подпространство Z , и, в частности, Z не изоморфно своим замкнутым гиперплоскостям. Если X однороден, значит, он должен иметь безусловную основу. Тогда из частичного решения, полученного Коморовским и Томчаком – Ягерманом для пространств с безусловным базисом, следует, что X изоморфно

Метрическая классификация

Если это

изометрия из банахова пространства на банахово пространство (где оба и - векторные пространства над ), то теорема Мазура – ​​Улама утверждает, что это должно быть аффинное преобразование. В частности, если это отображает ноль в ноль, то должно быть линейным. Этот результат означает, что метрика в банаховых пространствах, и в более общем плане в нормированных пространствах, полностью отражает их линейную структуру.

Топологическая классификация

Конечномерные банаховы пространства гомеоморфны как топологические пространства тогда и только тогда, когда они имеют ту же размерность, что и вещественные векторные пространства.

Теорема Андерсона – Кадека (1965–66) доказывает, что любые два бесконечномерных сепарабельных банаховых пространства гомеоморфны как топологические пространства. Теорема Кадека была расширена Торунчиком, который доказал, что любые два банаховых пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый характер плотности , минимальную мощность плотного подмножества.

Пространства непрерывных функций

Когда два бикомпакты и являются

гомеоморфно , банаховы пространства и изометричны. И наоборот, когда не гомеоморфно (мультипликативному) расстоянию Банаха – Мазура между и должно быть больше или равно 2 , см. Выше результаты Амира и Камберна . Хотя несчетные компактные метрические пространства могут иметь разные типы гомеоморфности, Милютин получил следующий результат:
Теорема. Пусть K - несчетное компактное метрическое пространство. Тогда изоморфен

Иная ситуация для счетно бесконечных компактных хаусдорфовых пространств. Каждый счетно бесконечный компакт K гомеоморфен некоторому отрезку порядковых чисел

снабжена топологией порядка , где - счетно бесконечный ординал. Тогда банахово пространство изометрично

C (<1, α  >) . Когда - два счетно бесконечных ординала, и если предположить, что пространства C (<1, α  >) и C (<1, β  >) изоморфны тогда и только тогда, когда β < α ω . Например, банаховы пространства
взаимно неизоморфны.

Примеры

Глоссарий символов для таблицы ниже:

комплексных чисел
  • является Бикомпакт .
  • являются вещественными числами с , которые гёльдеровские конъюгаты , а это означает , что они удовлетворяют и , следовательно,
  • является -алгеброй множеств.
  • является алгеброй множеств (для пространств, требующих только конечной аддитивности, таких как пространство ba ).
  • является мерой с вариацией . Положительная мера - это вещественнозначная функция положительного множества, определенная на -алгебре, которая является счетно-аддитивной.
  • Классические банаховы пространства
    Двойное пространство Рефлексивный слабо последовательно завершенный Норма Примечания
    да да Евклидово пространство
    да да
    да да
    да да
    Нет да
    Нет Нет
    Нет Нет
    Нет Нет Изоморфен, но не изометричен
    Нет да Изометрически изоморфен
    Нет да Изометрически изоморфен
    Нет Нет Изометрически изоморфен
    Нет Нет Изометрически изоморфен
    Нет Нет
    Нет Нет
    ? Нет да
    ? Нет да Замкнутое подпространство
    ? Нет да Замкнутое подпространство
    да да
    Нет да Сопряженное если это -конечное .
    ? Нет да это полная вариация из
    ? Нет да состоит из таких функций, что
    Нет да Изоморфно пространству Соболева
    Нет Нет Изоморфен по существу по теореме Тейлора .

    Производные

    В банаховом пространстве можно определить несколько концепций производной. Смотрите статьи о производной Фреше и производной Гато для деталей. Производная Фреше позволяет распространить понятие полной производной на банаховы пространства. Производная Гато позволяет расширить производную по направлению на локально выпуклые топологические векторные пространства . Дифференцируемость по Фреше - более сильное условие, чем дифференцируемость по Гато. Квази-производная является еще одним обобщением производной по направлению , что предполагает более сильное условие , чем дифференцируемость по Гато, но более слабому условии , чем Фреш дифференцируемость.

    Обобщения

    Несколько важных пространств в функциональном анализе, например, пространство всех бесконечно часто дифференцируемых функций или пространство всех распределений на полны, но не являются нормированными векторными пространствами и, следовательно, не банаховыми пространствами. В пространствах Фреше все еще существует полная метрика , а LF-пространства - это полные равномерные векторные пространства, возникающие как пределы пространств Фреше.

    Смотрите также

    Примечания

    использованная литература

    Библиография

    внешние ссылки