Адзумая алгебра - Azumaya algebra

В математике , алгебра Адзумая является обобщением центральных простых алгебр к R -алгебры где R не нужно быть полем . Такое понятие было введено в работе Горо Адзумая 1951 года для случая, когда R - коммутативное локальное кольцо . Это понятие получило дальнейшее развитие в теории колец и в алгебраической геометрии , где Александр Гротендик положил его в основу своей геометрической теории группы Брауэра на семинарах Бурбаки в 1964–65. Теперь есть несколько точек доступа к основным определениям.

Над кольцом

Алгебра Адзумая над коммутативным кольцом - это -алгебра, которая конечно порождена, точна и проективна как -модуль, так что тензорное произведение (где - противоположная алгебра ) изоморфно матричной алгебре через отображение, переходящее в эндоморфизм оф . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle A \ otimes _ {R} A ^ {\ circ}}$${\ displaystyle A ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle {\ text {End}} _ {R} (A) \ cong M_ {r} (R)}$${\ displaystyle a \ otimes b}$${\ Displaystyle х \ mapsto axb}$${\ displaystyle A}$

Примеры над полем

Над полем алгебры Адзумая полностью классифицируются теоремой Артина-Веддерберна, поскольку они аналогичны центральным простым алгебрам . Это алгебры, изоморфные кольцу матриц для некоторой алгебры с делением над . Например, кватернионные алгебры предоставляют примеры центральных простых алгебр. ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle M_ {п} (D)}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle k}$

Примеры над локальными кольцами

Учитывая локальное коммутативное кольцо , алгебра является Адзумаем тогда и только тогда , когда свободно от положительного конечного ранга как R-модуль, а алгебра является центральной простой алгеброй над , поэтому все примерами из центральных простых алгебр над . ${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}})}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} (R / {\ mathfrak {m}})}$${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$

Циклические алгебры

Существует класс алгебр Адзумая, называемый циклическими алгебрами, который порождает все классы подобия алгебр Адзумая над полем , следовательно, все элементы в группе Брауэра (определенная ниже). Учитывая конечное циклическое расширение поля Галуа степени , для каждой и любой образующей существует скрученное кольцо многочленов , также обозначаемое , порожденное таким элементом , что ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ text {Br}} (К)}$${\ displaystyle L / K}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b \ in K ^ {*}}$${\ displaystyle \ sigma \ in {\ text {Gal}} (L / K)}$${\ Displaystyle L [х] _ {\ sigma}}$${\ Displaystyle А (\ сигма, Ь)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle x ^ {n} = b}$

и имеет место следующее свойство коммутации:

${\ Displaystyle l \ cdot x = \ sigma (x) \ cdot l.}$

Как векторное пространство над , имеет базис с умножением, заданным формулой ${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle L [х] _ {\ sigma}}$${\ Displaystyle 1, х, х ^ {2}, \ ldots, х ^ {п-1}}$

${\ displaystyle x ^ {i} \ cdot x ^ {j} = {\ begin {case} x ^ {i + j} & {\ text {if}} i + j <n \\ x ^ {i + jn } b & {\ text {if}} i + j \ geq n \\\ end {case}}}$

Обратите внимание, что для геометрически целостного многообразия существует также ассоциированная циклическая алгебра для расширения поля факторов . ${\ Displaystyle X / K}$${\ displaystyle {\ text {Frac}} (X_ {L}) / {\ text {Frac}} (X)}$

Группа Брауэра кольца

Над полями существует когомологическая классификация алгебр Адзумая с использованием этальных когомологий . Фактически, эта группа, называемая группой Брауэра , также может быть определена как классы подобия алгебр Адзумая над кольцом , где кольца подобны, если существует изоморфизм ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A, A '}$

${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} M_ {n} (R) \ cong A '\ otimes _ {R} M_ {m} (R)}$

колец для некоторых натуральных чисел . Затем эта эквивалентность в действительности является отношением эквивалентности, и если , , а затем , показывая ${\ displaystyle n, m}$${\ Displaystyle A_ {1} \ sim A_ {1} '}$${\ Displaystyle A_ {2} \ sim A_ {2} '}$${\ displaystyle A_ {1} \ otimes _ {R} A_ {2} \ sim A_ {1} '\ otimes _ {R} A_ {2}'}$

${\ displaystyle [A_ {1}] \ otimes [A_ {2}] = [A_ {1} \ otimes _ {R} A_ {2}]}$

- это хорошо определенная операция. Это формирует групповую структуру на множестве таких классов эквивалентности, называемую группой Брауэра , обозначаемой . Другое определение дает подгруппа кручения этальной группы когомологий ${\ displaystyle {\ text {Br}} (R)}$

${\ displaystyle {\ text {Br}} _ {coh} (R): = {\ text {H}} _ {et} ^ {2} ({\ text {Spec}} (R), \ mathbb {G } _ {m}) _ {tors}}$

которая называется когомологической группой Брауэра . Эти два определения согласуются, когда это поле. ${\ displaystyle R}$

Группа Брауэра с использованием когомологий Галуа

Существует другое эквивалентное определение группы Брауэра с использованием когомологий Галуа . Для расширения поля существует когомологическая группа Брауэра, определяемая как ${\ displaystyle E / F}$

${\ displaystyle {\ text {Br}} ^ {coh} (E / F): = H _ {\ text {Gal}} ^ {2} ({\ text {Gal}} (E / F), E ^ { \ times})}$

а когомологическая группа Брауэра для определяется как ${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle {\ text {Br}} ^ {coh} (F) = {\ underset {E / F} {\ text {colim}}} H _ {\ text {Gal}} ^ {2} ({\ text {Gal}} (E / F), E ^ {\ times})}$

где копредел берется по всем конечным расширениям поля Галуа.

Вычисление для локального поля

Над локальным неархимедовым полем , таким как p-адические числа , теория полей локальных классов дает изоморфизм абелевых групп: ^{pg 193}${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$

${\ displaystyle {\ text {Br}} ^ {Coh} (F) \ cong \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}.}$

Это связано с тем, что для данных расширений абелевых полей существует короткая точная последовательность групп Галуа ${\ displaystyle E_ {2} / E_ {1} / F}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ text {Gal}} (E_ {2} / E_ {1}) \ to {\ text {Gal}} (E_ {2} / F) \ to {\ text {Gal}} (E_ {1} / F) \ to 0}$

а из локальной теории полей классов существует следующая коммутативная диаграмма:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} H _ {\ text {Gal}} ^ {2} ({\ text {Gal}} (E_ {2} / F), E_ {1} ^ {\ times}) & \ к & H _ {\ text {Gal}} ^ {2} ({\ text {Gal}} (E_ {1} / F), E_ {1} ^ {\ times}) \\\ downarrow && \ downarrow \\\ left ({\ frac {1} {[E_ {2}: E_ {1}]}} \ mathbb {Z} \ right) / \ mathbb {Z} & \ to & \ left ({\ frac {1} { [E_ {1}: F]}} \ mathbb {Z} \ right) / \ mathbb {Z} \ end {matrix}}}$

где вертикальные отображения - изоморфизмы, а горизонтальные - инъекции.

n-кручение для поля

Напомним, есть последовательность Куммера

${\ displaystyle 1 \ to \ mu _ {n} \ to \ mathbb {G} _ {m} \ xrightarrow {\ cdot n} \ mathbb {G} _ {m} \ to 1}$

дающий длинную точную последовательность в когомологиях поля . Поскольку из теоремы Гильберта 90 следует , существует соответствующая короткая точная последовательность ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle H ^ {1} (F, \ mathbb {G} _ {m}) = 0}$

${\ displaystyle 0 \ to H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n}) \ to {\ text {Br}} (F) \ xrightarrow {\ cdot n} {\ text {Br}} (F) \ к 0}$

показывает вторую этальную группу когомологий с коэффициентами в корнях n-й степени из единицы : ${\ displaystyle \ mu _ {n}}$

${\ displaystyle H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n}) = {\ text {Br}} (F) _ {n-tors}.}$

Генераторы классов n-кручения в группе Брауэра над полем

Символ Галуа , или символ нормального вычета, является отображением группы K-теории Милнора с n-кручением в этальную группу когомологий , обозначаемую ${\ Displaystyle K_ {2} ^ {M} (F) \ otimes \ mathbb {Z} / n}$${\ displaystyle H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n} ^ {\ otimes 2})}$

${\ displaystyle R_ {n, F}: K_ {2} ^ {M} (F) \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} \ to H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n} ^ {\ otimes 2})}$

Это происходит из композиции чашечного произведения в этальных когомологиях с изоморфизмом теоремы Гильберта 90

${\ displaystyle \ chi _ {n, F}: F ^ {*} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / n \ to H_ {et} ^ {1} (F, \ mu _ {n})}$

следовательно

${\ Displaystyle R_ {n, F} (\ {a, b \}) = \ chi _ {n, F} (a) \ cup \ chi _ {n, F} (b)}$

Оказывается, это отображение пропускается через , чей класс для представлен циклической алгеброй . Для расширения Куммера, где возьмем генератор циклической группы и построим . Существует альтернативная, но эквивалентная конструкция через когомологии Галуа и этальные когомологии. Рассмотрим короткую точную последовательность тривиальных -модулей ${\ displaystyle H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n}) = {\ text {Br}} (F) _ {n-tors}}$${\ Displaystyle \ {а, б \}}$${\ displaystyle [A (\ sigma, b)]}$ ${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle E = F ({\ sqrt [{n}] {a}})}$${\ displaystyle \ sigma \ in {\ text {Gal}} (E / F)}$${\ displaystyle [A (\ sigma, b)]}$${\ displaystyle {\ text {Gal}} ({\ overline {F}} / F)}$

${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / n \ to 0}$

Длинная точная последовательность дает карту

${\ displaystyle H_ {Gal} ^ {1} (F, \ mathbb {Z} / n) \ xrightarrow {\ delta} H_ {Gal} ^ {2} (F, \ mathbb {Z})}$

За уникального персонажа

${\ displaystyle \ chi: {\ text {Gal}} (E / F) \ to \ mathbb {Z} / n}$

с , есть уникальный лифт ${\ Displaystyle \ чи (\ сигма) = 1}$

${\ displaystyle {\ overline {\ chi}}: {\ text {Gal}} ({\ overline {F}} / F) \ to \ mathbb {Z} / n}$

и

${\ displaystyle \ delta ({\ overline {\ chi}}) \ cup (b) = [A (\ sigma, b)] \ in {\ text {Br}} (F)}$

обратите внимание, что класс взят из отображения теоремы Гильбертса 90 . Тогда, поскольку существует примитивный корень из единицы , существует также класс ${\ displaystyle (b)}$${\ Displaystyle \ чи _ {п, F} (б)}$${\ displaystyle \ zeta \ in \ mu _ {n} \ subset F}$

${\ displaystyle \ delta ({\ overline {\ chi}}) \ cup (b) \ cup (\ zeta) \ in H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n} ^ {\ otimes 2 })}$

Оказывается, это именно класс . По теореме об изоморфизме вычетов Нормы , является изоморфизмом, и классы -кручения в порождаются циклическими алгебрами . ${\ displaystyle R_ {n, F} (\ {a, b \})}$${\ displaystyle R_ {n, F}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ text {Br}} (F) _ {n-tors}}$${\ displaystyle [A (\ sigma, b)]}$

Теорема Сколема-Нётер

Одним из важных структурных результатов об алгебрах Адзумая является теорема Сколема-Нётер : для локального коммутативного кольца и алгебры Адзумая единственные автоморфизмы являются внутренними. Это означает, что следующая карта сюръективна: ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R \ to A}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} A ^ {*} \ to {\ text {Aut}} (A) \\ a \ mapsto (x \ mapsto a ^ {- 1} xa) \ end {cases}}}$

где - группа единиц в. Это важно, поскольку оно напрямую связано с когомологической классификацией классов подобия алгебр Адзумая над схемой. В частности, это означает, что алгебра Адзумая имеет структурную группу для некоторых , а группа когомологий Чеха${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle A.}$${\ displaystyle {\ text {PGL}} _ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {1} ((X) _ {et}, {\ text {PGL}} _ {n})}$

дает когомологическую классификацию таких расслоений. Тогда это можно связать с использованием точной последовательности ${\ displaystyle H_ {et} ^ {2} (X, \ mathbb {G} _ {m})}$

${\ displaystyle 1 \ to \ mathbb {G} _ {m} \ to {\ text {GL}} _ {n} \ to {\ text {PGL}} _ {n} \ to 1}$

Оказывается, образ группы является подгруппой подгруппы кручения . ${\ displaystyle H ^ {1}}$${\ displaystyle H_ {et} ^ {2} (X, \ mathbb {G} _ {m}) _ {tors}}$

На схеме

Адзумай алгебра на схему X с структурным пучком , в соответствии с первоначальным Гротендик семинара, является пучком из -алгебр , что этально локально изоморфна алгебра матриц пучка; однако следует добавить условие положительного ранга каждого пучка матричной алгебры. Это определение превращает алгебру Адзумая в «скрученную форму» пучка . Милна, этальные Когомологии , начинается вместо того, чтобы из определения , что она представляет собой пучок из -алгебр которого Стебель в каждой точке есть алгебра Адзумая над локальным кольцом в указанном выше смысле. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ Displaystyle M_ {п} ({\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {x}}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x}}$

Две Адзумая алгебры и являются эквивалентными , если существуют локально свободные пучки и конечного положительного ранга в каждой точке такой , что ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {2}}$

${\ displaystyle A_ {1} \ otimes \ mathrm {End} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} ({\ mathcal {E}} _ {1}) \ simeq A_ {2} \ otimes \ mathrm {Конец} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} ({\ mathcal {E}} _ {2}),}$

где - пучок эндоморфизмов . Группа Брауэра из X (аналог группы Брауэра поля) есть множество классов эквивалентности Адзумаи алгебры. Групповая операция задается тензорным произведением, а обратная - противоположной алгеброй. Обратите внимание, что это отличается от когомологической группы Брауэра, которая определяется как . ${\ displaystyle \ mathrm {End} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} ({\ mathcal {E}} _ {i})}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {i}}$${\ Displaystyle B (X)}$${\ displaystyle H_ {et} ^ {2} (X, \ mathbb {G} _ {m})}$

Пример над Spec (Z [1 / n])

Построение кватернионной алгебры над полем можно глобализировать , рассматривая некоммутативную -алгебру ${\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} [1 / n])}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / п]}$

${\ displaystyle A_ {a, b} = {\ frac {\ mathbb {Z} [1 / n] \ langle i, j, k \ rangle} {i ^ {2} -a, j ^ {2} -b , ij-k, ji + k}}}$

тогда как пучок -алгебр имеет структуру алгебры Адзумая. Причина ограничения открытым аффинным множеством состоит в том, что алгебра кватернионов является алгеброй с делением над точками , и только если символ Гильберта${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {a, b}}$${\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} [1 / n]) \ hookrightarrow {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle (p)}$

${\ Displaystyle (а, б) _ {р} = 1}$

что верно для всех, кроме конечного числа простых чисел.

Пример над P ⁿ

Более Адзумай алгебры могут быть построены как для алгебры Адзумая над полем . Например, пучком эндоморфизмов является пучок матриц ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {End}} _ {k} ({\ mathcal {E}}) \ otimes _ {k} A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (а) \ oplus {\ mathcal {O}} (б)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {End}} _ {k} ({\ mathcal {O}} (a) \ oplus {\ mathcal {O}} (b)) = {\ begin {pmatrix} {\ mathcal {O }} & {\ mathcal {O}} (ba) \\ {\ mathcal {O}} (ab) & {\ mathcal {O}} \ end {pmatrix}}}$

таким образом, алгебра Адзумая может быть построена из этого пучка, натянутого над алгеброй Адзумая , такой как алгебра кватернионов. ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$

Приложения

После работ Юрия Манина были значительные приложения алгебр Адзумая в диофантовой геометрии . Обструкции Манин к принципу Хассе определяется с использованием Брауэра группы схем.

Смотрите также

• Герб
• Теория поля классов
• Алгебраическая K-теория
• Мотивная когомология
• Теорема об изоморфизме нормального вычета

Рекомендации

Группа Брауэра и алгебры Адзумая

• Милн, Джон. Этальные когомологии . Глава IV
• Кнус, Макс-Альберт; Ojanguren, Manuel (1974), Théorie de la descente et algèbres d'Azumaya , Lecture Notes по математике, 389 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0057799 , MR   0417149 , Zbl   0284.13002
• Тема Mathoverflow на тему " Явные примеры алгебр Адзумая "

Алгебры с делением

• Кнус, Макс-Альберт (1991), квадратичные и эрмитовы формы над кольцами , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294 , Берлин и т. Д .: Springer-Verlag , ISBN   3-540-52117-8 , Zbl   0756,11008
• Солтман, Дэвид Дж. (1999). Лекции по алгебрам с делением . Серия региональных конференций по математике. 94 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN   0-8218-0979-2 . Zbl   0934.16013 .