Аксиоматические системы - Axiomatic system


Из Википедии, свободной энциклопедии

В математике , аксиомой система является любой набор из аксиом , из которых некоторые или все аксиомы могут быть использованы в сочетании с логически вытекают теоремы . Теория состоит из аксиоматической системы и всех его производных теорем. Аксиома система , которая полностью описывается это особый вид формальной системы . Формальная теория обычно означает аксиоматическую систему, например , сформулированный в рамках теории модели . Формальное доказательство является полной цветопередачей из математического доказательства в формальной системе.

свойства

Аксиома системы называется последовательным , если ему не хватает противоречий , то есть способность вывести как заявление и его отказ от аксиом системы.

В аксиоматической системы, аксиома называется независимой , если она не является теоремой , которая может быть получена из других аксиом системы. Система будет называться независимой , если каждые из его основных аксиом является независимой. Хотя независимость не является необходимым требованием для системы, консистенция обычно, но видеть нейтрософскую логику.

Аксиома система будет называться полной , если для каждого оператора, либо сам по себе или его отрицанию выводимо.

Относительная согласованность

Помимо последовательности, относительная консистенция также признак стоящей системы аксиом. Это когда неопределенные условия первой системы аксиом приводятся определения из второго, таким образом, что аксиомы являются первой теоремой второго.

Хороший пример может служить относительным постоянством геометрии нейтральной или абсолютной геометрии по отношению к теории реальной системы счисления. Линии и точки неопределенные термины в абсолютной геометрии, но присвоенные значения в теории действительных чисел таким образом, что согласуется с обеими системами аксиом.

модели

Модель для аксиоматической системы является четко определенным набором , который присваивает значение для неопределенных терминов , представленных в системе, таким образом , что является правильным с отношениями , определенных в системе. Существование конкретной модели доказывает согласованность системы. Модель называется бетон , если значения , присвоенные объекты и отношения из реального мира}, в отличие от абстрактной модели , которая основана на других аксиоматических систем.

Модели также могут быть использованы, чтобы показать независимость аксиомы в системе. Построив действующую модель подсистемы без определенной аксиомы, мы покажем, что опущено аксиома не зависит, если его правильность не обязательно вытекает из подсистемы.

Две модели, называются изоморфными , если соответствие один-к-одному , можно найти между их элементами, таким образом, сохраняет свои отношения. Аксиома системы , для которой каждая модель изоморфна другой называется категориально (иногда категоричны), и свойство категоричности (категоричность) обеспечивает полноту системы.

Аксиоматический метод

Заявив определения и предложения таким образом , таким образом, что каждый новый член может быть формально устранен priorly введенных терминами требуют примитивных представлений (аксиомы) , чтобы избежать бесконечного регресса . Этот способ делать математику называется аксиоматический метод .

Обычное отношение к аксиоматическому методу является логицизмом . В своей книге Principia Mathematica , Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел попытались показать , что все математические теории могут быть сведены к некоторому набору аксиом. В целом, сокращение тела положений к конкретной коллекции аксиом лежит в основе программы научных исследований математика. Это было очень заметным в математике двадцатого века, в частности , у субъектов , основанных вокруг гомологической алгебры .

Экспликации конкретных аксиом , используемых в теории может помочь прояснить подходящий уровень абстракции , что математик хотел бы работать. Так , например, математики решили , что кольца не должны быть коммутативными , которая отличалась от Нётера оригинального состава «s. Математики решили рассмотреть топологические пространства в более общем смысле без аксиомы разделения , которое Хаусдорф первоначально сформулированная.

В аксиомах Цермели-Френкель , результат аксиоматического метода применительно к теории множеств, позволили «правильной» постановке задач теории множеств и помогли избежать парадоксов наивной теории множеств . Одной из таких проблем была Континуум гипотеза . Цермело-Френкеля теории множеств с исторически спорной аксиомы выбора включены обычно сокращенно ZFC , где C обозначает выбор. Многие авторы используют ZF , чтобы обратиться к аксиомам теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора исключенного. Сегодня ZFC является стандартной формой аксиоматической теории множеств , и как таковой является наиболее распространенной основой математики .

история

Математические методы, разработанные в некоторой степени сложности, в Древнем Египте, Вавилоне, Индии и Китае, по-видимому, без применения аксиоматического метода.

Евклид из Александрии автором самой ранней из дошедших до нас аксиоматическое изложение евклидовой геометрии и теории чисел . Многие аксиоматические системы были разработаны в девятнадцатом веке, в том числе и неевклидовой геометрии , основ реального анализа , Кантор «s теория множеств , Фреге » работа s на фундаментах и Гильберта «s„новый“использование аксиоматического метода в качестве инструмента исследования , Например, теория групп была впервые предложена на аксиоматической основе к концу этого столетия. После того, как аксиомы были разъяснены (что обратные элементы должны быть необходимы, например), субъект может приступить автономно, без ссылки на группы преобразований происхождения этих исследований.

вопросы

Не каждый последовательный орган предложений может быть захвачен описываемым коллекции аксиом. Вызов набор аксиом рекурсивным , если компьютерная программа может распознать данное предложение в языке , является ли аксиома. Первая теорема Геделя о неполноте , то говорит нам , что есть определенные последовательные органы положений, не имеющие рекурсивных аксиоматизаций. Как правило, компьютер может распознавать аксиомы и логические правила вывода теорем, и компьютер может распознать , является ли доказательство, но и определить , существует ли доказательство для утверждения только растворимый «ожидание» для доказательства или опровержений быть генерироваться. Результатом является то , что никто не будет знать , какие предложения являются теоремами и аксиоматический метод сломается. Пример такого тела суждений является теорией натуральных чисел . В Аксиомы Пеано (описанные ниже) , таким образом , лишь частично аксиоматизировать эту теорию.

На практике не все доказательства восходят к аксиомам. Время от времени, не ясно , какая совокупность аксиом доказательства обращается к. Например, ряд теоретико-оператор может выражаться в языке арифметики (т.е. на языке Аксиомы Пеано) и доказательство может быть дано , что обращается к топологии или комплексного анализа . Это может быть не сразу ясно , будет ли еще одно доказательство того, можно найти , что происходит само исключительно из Аксиомы Пеано.

Любая более или менее произвольно выбранная система аксиом является основой некоторой математической теории, но такая произвольной аксиома система не обязательно будет свободна от противоречий, и даже если это так, то, скорее всего, чтобы пролить свет на что-нибудь не так. Философы математики иногда утверждают, что математики выбирают аксиомы «произвольно», но вполне возможно, что, хотя они могут появляться произвольно, если смотреть только с точки зрения канонов дедуктивной логики, что появление связанно с ограничением на цели, что дедуктивный логика служит.

Пример: Пеано аксиоматизация натуральных чисел

Математическая система натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ... основываются на аксиоматической систему первого записанным по математике Пеана в 1889. Он выбрал аксиомы, на языке одной одноместный символ функции S (сокращенно « преемник »), для множества натуральных чисел быть:

  • Существует натуральное число 0.
  • Каждое натуральное число имеет преемника, обозначаемый Sa .
  • Там нет натурального числа, преемник которого является 0.
  • Четкие натуральные числа имеют различные наследников: если вб , то SaSb .
  • Если свойство обладает 0 , а также преемником любого натурального числа он одержит, то он обладает всеми натуральными числами ( « Induction аксиомы »).

Аксиоматизация

В математике , аксиоматизация является разработка системы отчетности (т.е. аксиом ) , которые относятся ряд примитивных терминов , с тем , что последовательное тело предложений может быть получена дедуктивным из этих утверждений. После этого доказательства любого предложения должно быть, в принципе, ПРОСЛЕЖИВАЕМОЕ обратно эти аксиомы.

Смотрите также

Рекомендации

  • Хазевинкель, Михель , изд. (2001) [1994], "Аксиоматический метод" , Энциклопедия математики , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4
  • Eric W. Weisstein, аксиоматика , От MathWorld-A Wolfram Web Resource. Mathworld.wolfram.com & Answers.com