Таблица синусов Арьябханы - Āryabhaṭa's sine table

Астрономический трактат Āryabhaṭīya был составлен на пятом веке индийский математик и астроном Aryabhata (476-550 н.э.), для вычисления половин аккордов определенного набора дуг окружности. Это не таблица в современном понимании математической таблицы; то есть это не набор чисел, упорядоченных по строкам и столбцам.

Дуга и хорда круга

Таблица Рьябханы также не является набором значений тригонометрической функции синуса в общепринятом смысле; это таблица первых разностей значений тригонометрических синусов, выраженных в угловых минутах , и из-за этого таблица также называется таблицей разностей синусов Арьябханы .

Таблица Арьябханы была первой таблицей синусов в истории математики . В настоящее время потеряли таблицы Гиппарха (C.190 BC - C.120 BC) и Менелая (c.70-140 CE) и тех , Птолемея (c.AD 90 - c.168) были все таблицы аккордов и не половины -аккорды. Таблица Арьябханы оставалась стандартной синусоидальной таблицей древней Индии. Были постоянные попытки улучшить точность этой таблицы. Эти усилия завершились открытием степенного ряда функций синуса и косинуса Мадхавой из Сангамаграмы (около 1350–1425), основателем керальской школы астрономии и математики , и составлением таблицы синусов. Мадхавой со значениями с точностью до семи или восьми знаков после запятой.

Некоторые историки математики утверждали, что таблица синусов, приведенная в ryabhaṭiya, была адаптацией более ранних подобных таблиц, построенных математиками и астрономами Древней Греции. Дэвид Пингри , один из выдающихся американских историков точных наук в древности, был сторонником такой точки зрения. Предполагая эту гипотезу, Дж. Дж. Тумер пишет: «Практически не существует какой-либо документации о самом раннем появлении греческих астрономических моделей в Индии или, в этом отношении, о том, как эти модели могли бы выглядеть. Поэтому очень трудно установить, в какой степени это произошло. для нас представляет собой переданное знание, и то, что является оригинальным у индийских ученых ... Истина, вероятно, представляет собой запутанную смесь обоих ».

Стол

В современных обозначениях

Значения, закодированные в санскритском стихе Арьябханы, могут быть декодированы с использованием числовой схемы, объясненной в Арьябхатии , а декодированные числа перечислены в таблице ниже. В таблице угловые меры, относящиеся к таблице синусов Арьябханы, перечислены во втором столбце. Третий столбец содержит список чисел, содержащихся в стихе на санскрите, приведенном выше письмом Деванагари . Для удобства пользователей, не умеющих читать деванагари, эти числовые слова воспроизводятся в четвертом столбце транслитерации ISO 15919 . В следующем столбце эти числа записаны арабско-индусскими цифрами . Числа Арьябханы - это первые различия в значениях синусов. Соответствующее значение синуса (или, точнее, jya ) может быть получено суммированием разностей до этой разницы. Таким образом, значение jya, соответствующее 18 ° 45 ', составляет сумму 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Для оценки точности вычислений Арьябханы современные значения jya s приведены в последнем столбце таблицы.

В индийской математической традиции синус (или джья ) угла не является соотношением чисел. Это длина определенного отрезка прямой, определенной полухорды. Радиус базовой окружности является основным параметром для построения таких таблиц. Исторически сложилось так, что несколько таблиц были построены с использованием разных значений этого параметра. Арьябхана выбрал число 3438 в качестве значения радиуса основной окружности для вычисления своей таблицы синусов. Обоснованием выбора этого параметра является идея измерения длины окружности в угловых мерах. В астрономических вычислениях расстояния измеряются в градусах , минутах , секундах и т. Д. В этом случае длина окружности составляет 360 ° = (60 × 360) минут = 21600 минут. Радиус круга, длина окружности которого 21600 минут, равен 21600 / 2π минут. Вычисляя это, используя значение π = 3,1416, известное Арьябхате, мы получаем радиус круга приблизительно равный 3438 минутам. Таблица синусов Рьябханы основана на этом значении радиуса основной окружности. Пока не установлено, кто первым использовал это значение для радиуса основания. Но Арьябхатия - это самый ранний сохранившийся текст, содержащий ссылку на эту основную константу.

Вычислительный метод Арьябханы

Второй раздел Āryabhaṭiya, названный Ganitapādd a, содержит строфу, указывающую метод вычисления таблицы синусов. Есть несколько двусмысленностей в правильном толковании значения этого стиха. Например, ниже приводится перевод стиха, данного Кацем, в котором слова в квадратных скобках являются вставками переводчика, а не переводами текстов в стихе.

• "Когда вторая разделенная половина [хорда] меньше первой половины хорды, которая [приблизительно равна] [соответствующей] дуге, на определенную величину, оставшиеся [синусоидальные различия] меньше [, чем предыдущая ед.] каждый на ту величину, которая делится на первую половину аккорда ".

Это может относиться к тому факту, что вторая производная синусоидальной функции равна отрицательной величине синусоидальной функции.

Смотрите также

• Таблица синусов Мадхавы
• Формула приближения синуса Бхаскары I.

использованная литература