Теорема Веддерберна – Артина - Wedderburn–Artin theorem

В алгебре , то Wedderburn-Артин теорема является классификация теоремы для полупростых колец и полупростых алгебр . Теорема утверждает , что (артины) полупростое кольцо R изоморфно продукт из конечного числа п _я матрица с размерностью п _я матричные кольцами над телами D _I , для некоторых целых п _I , оба из которых однозначно определяются с точностью до перестановки индекс i . В частности, любой простой влево или вправо артиново кольцо изоморфно N матрицу с размерностью п матричного кольца над разделением кольца D , где оба п и D однозначно определяются.

Теорема

Пусть R - полупростое кольцо . Тогда R изоморфен произведение конечного числа п _я матрица с размерностью п _я матричные кольцами над разделением кольцо D _I , для некоторых целых п _I , оба из которых однозначно определяются с точностью до перестановки индекса я . ${\ displaystyle M_ {n_ {i}} (D_ {i})}$

Если R - конечномерная полупростая k -алгебра, то каждое D _i в приведенном выше утверждении является конечномерной алгеброй с делением над k . Центр каждого D _я не должен быть к ; это может быть конечное расширение из к .

Заметим , что если R является конечным простая алгебра над телом Е , D нет необходимости содержится в E . Например, кольца матриц над комплексными числами являются конечномерными простыми алгебрами над действительными числами .

Следствие 1.

Веддерберна-Артин теорема следует , что каждое простое кольцо , что конечномерно над телом изоморфно N матрицы с размерностью п матричного кольца над разделением кольцом D , где оба п и D однозначно определяются. Это оригинальный результат Джозефа Веддерберна . Эмиль Артин позже обобщил его на случай левых или правых артиновых колец . В частности, если - алгебраически замкнутое поле, то кольцо матриц, имеющее элементы из, является единственной конечномерной алгеброй с делением над . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

Следствие 2.

Пусть k - алгебраически замкнутое поле. Пусть R - полупростое кольцо, являющееся конечномерной k -алгеброй. Тогда R - конечное произведение, где - натуральные числа, и - алгебра матриц над k . ${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {я = 1} ^ {r} M_ {n_ {i}} (к)}$${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle M_ {n_ {i}} (к)}$${\ displaystyle n_ {i} \ times n_ {i}}$

Последствие

Веддерберна-Артина теорема сводит задачу классификации конечномерных центральных простых алгебр над полем K к задаче классификации конечномерных центральной алгебры с делением над K .

Смотрите также

• Теорема Машке
• Группа Брауэра
• Теорема плотности Джекобсона
• Номер гиперкомплекса

Рекомендации

• PM Cohn (2003) Основная алгебра: группы, кольца и поля , страницы 137–9.
• JHM Веддерберн (1908). «О гиперкомплексных числах» . Труды Лондонского математического общества . 6 : 77–118. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-6.1.77 .
• Артин, Э. (1927). "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen". 5 : 251–260. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )