Области математики - Areas of mathematics

Математика включает в себя все большее разнообразие и глубину предметов на протяжении своей истории , и для ее понимания требуется система, чтобы классифицировать и организовать эти различные предметы в более общие области математики . Возникло множество различных схем классификации, и, хотя они имеют некоторые общие черты, есть различия, частично обусловленные разными целями, которым они служат.

Традиционное разделение математики на чистую математику ; математика изучалась из-за ее внутреннего интереса, а прикладная математика ; математика, которая может быть непосредственно применена к реальным задачам. Это разделение не всегда ясно, и многие предметы были разработаны как чистая математика, чтобы впоследствии найти неожиданные приложения. В последнее время появились широкие разделы, такие как дискретная математика , вычислительная математика и т. Д.

Идеальная система классификации позволяет добавлять новые области в организацию предыдущих знаний и вписывать в схему удивительные открытия и неожиданные взаимодействия. Например, программа Ленглендса обнаружила неожиданные связи между областями, которые ранее считались несвязанными, по крайней мере, группами Галуа , римановыми поверхностями и теорией чисел .

Системы классификации

Основные разделы математики

Чистая математика

Фонды

Математики всегда работали с логикой и символами, но на протяжении веков основные законы логики считались само собой разумеющимися и никогда не выражались символически. Математическая логика , также известная как символическая логика , была разработана, когда люди наконец поняли, что инструменты математики можно использовать для изучения структуры самой логики. Области исследований в этой области быстро расширились и обычно подразделяются на несколько отдельных подполей.

  • Теория доказательств и конструктивная математика  : теория доказательств выросла из амбициозной программы Дэвида Гильберта по формализации всех доказательств в математике. Самый известный результат в этой области заключен в теоремах Гёделя о неполноте . Тесно связанной и теперь довольно популярной концепцией является идея машин Тьюринга . Конструктивизм является результатом неортодоксального взгляда Брауэра на природу самой логики; конструктивно говоря, математики не могут утверждать: «Либо круг круглый, либо нет», пока они на самом деле не покажут круг и не измерит его округлость.
История и биография

История математики неразрывно связана с самим предметом. Это совершенно естественно: математика имеет внутреннюю органическую структуру, которая выводит новые теоремы из уже существующих. По мере того как каждое новое поколение математиков опирается на достижения своих предков, сам предмет расширяется и вырастает новые слои, как лук.

Развлекательная математика

От магических квадратов до множества Мандельброта числа на протяжении веков были источником развлечения и удовольствия для миллионов людей. Многие важные разделы «серьезной» математики уходят корнями в то, что когда-то было простой головоломкой и / или игрой.

Теория чисел

Теория чисел - это изучение чисел и свойств операций между ними. Теория чисел традиционно занимается свойствами целых чисел , но в последнее время она стала заниматься более широкими классами проблем, которые естественным образом возникли в результате изучения целых чисел.

  • Элементарная теория чисел: изучение целых чисел на более высоком уровне, чем арифметика , где термин «элементарный» здесь относится к тому факту, что не используются методы из других математических областей.

Алгебра

Изучение структуры начинается с чисел , сначала знакомых натуральных и целых чисел и их арифметических операций, которые записываются в элементарной алгебре . Более глубокие свойства этих чисел изучаются в теории чисел . Изучение методов решения уравнений приводит к области абстрактной алгебры , которая, помимо прочего, изучает кольца и поля , структуры, обобщающие свойства, которыми обладают обычные числа. Давние вопросы о конструкциях компаса и линейки были окончательно разрешены теорией Галуа . Физически важное понятие векторов , обобщенное на векторные пространства , изучается в линейной алгебре . В универсальной алгебре изучаются темы, общие для всех видов алгебраических структур .

  • Общие алгебраические системы  дан: набор можно определить, различные способы объединения или в отношении членов этого набора. Если они подчиняются определенным правилам, то образуется определенная алгебраическая структура. Универсальная алгебра - это более формальное изучение этих структур и систем.
  • Теория поля и многочлены: теория поля изучает свойства полей . Поле - это математическая сущность, для которой четко определены сложение, вычитание, умножение и деление . Многочлен - это выражение, в котором константы и переменные комбинируются с использованием только сложения, вычитания и умножения.

Комбинаторика

Комбинаторика - это изучение конечных или дискретных наборов объектов, удовлетворяющих заданным критериям. В частности, он связан с «подсчетом» объектов в этих коллекциях ( перечислительная комбинаторика ) и с принятием решения о том, существуют ли определенные «оптимальные» объекты ( экстремальная комбинаторика ). Он включает теорию графов , используемую для описания взаимосвязанных объектов (граф в этом смысле - это сеть или совокупность связанных точек). См. Также список тем комбинаторики , список тем теории графов и глоссарий теории графов . Комбинаторной ароматизатор присутствует во многих частях решения проблем .

Геометрия

Геометрия занимается пространственными отношениями, используя фундаментальные качества или аксиомы . Такие аксиомы можно использовать в сочетании с математическими определениями точек , прямых линий , кривых , поверхностей и твердых тел, чтобы делать логические выводы. См. Также Список тем по геометрии .

Топология

Имеет дело со свойствами фигуры, которые не меняются, когда фигура непрерывно деформируется. Основные области - это точечная топология (или общая топология ), алгебраическая топология и топология многообразий , определенные ниже.

Анализ

В математике анализ - это ветвь, которая фокусируется на скорости изменения (производных) , интегралах и множестве вещей, изменяющихся относительно (или независимо) друг от друга.

Современный анализ - это обширная и быстро развивающаяся отрасль математики, которая затрагивает почти все остальные подразделения дисциплины, находя прямое и косвенное применение в таких разнообразных темах, как теория чисел , криптография и абстрактная алгебра . Это также язык самой науки, который используется в химии , биологии и физике , от астрофизики до рентгеновской кристаллографии .

Прикладная математика

Вероятность и статистика

Вычислительные науки

  • Компьютерная алгебра : эта область также называется символьными вычислениями или алгебраическими вычислениями . Он имеет дело с точными вычислениями, например, с целыми числами произвольного размера, многочленами или элементами конечных полей. Он также включает вычисления с нечисловыми математическими объектами, такими как полиномиальные идеалы или ряды.

Математическая физика

  • Классическая механика : обращается и описывает движение макроскопических объектов, от снарядов до частей механизмов, а также астрономических объектов, таких как космические корабли, планеты, звезды и галактики.
  • Механика конструкций : механика конструкций - это область исследований в рамках прикладной механики, которая исследует поведение конструкций при механических нагрузках, таких как изгиб балки, изгиб колонны, кручение вала, прогиб тонкой оболочки и вибрация. моста.

Другая прикладная математика

  • Математическое программирование : математическое программирование (или математическая оптимизация) минимизирует (или максимизирует) функцию с действительным знаком в области, которая часто определяется ограничениями на переменные. Математическое программирование изучает эти проблемы и разрабатывает итерационные методы и алгоритмы их решения.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Например, в Одиннадцатом издании Британской энциклопедии статьи по математике сгруппированы как Чистые, Прикладные и Биографии .

внешние ссылки