Метод аналитических элементов - Analytic element method

Метод аналитических элементов ( AEM ) - это численный метод, используемый для решения уравнений в частных производных . Первоначально он был разработан ODL Strack в Университете Миннесоты . По своей природе он аналогичен методу граничных элементов (МГЭ), поскольку не полагается на дискретизацию объемов или площадей в моделируемой системе; дискретизируются только внутренние и внешние границы. Одно из основных различий между AEM и BEM заключается в том, что граничные интегралы вычисляются аналитически.

Обтекание непроницаемых цилиндров. Решено с помощью AEM с использованием 20 коэффициентов в расширениях ряда.

Математическая основа

Основная предпосылка метода аналитических элементов заключается в том, что для линейных дифференциальных уравнений элементарные решения могут быть наложены друг на друга для получения более сложных решений. Набор 2D и 3D аналитических решений («элементов») доступен для различных основных уравнений. Эти элементы обычно соответствуют разрыву в зависимой переменной или ее градиенту вдоль геометрической границы (например, точки, линии, эллипса, круга, сферы и т. Д.). Этот разрыв имеет особую функциональную форму (обычно полином в 2D) и может быть изменен для удовлетворения граничных условий Дирихле, Неймана или Робина (смешанные). Каждое аналитическое решение бесконечно в пространстве и / или времени.

Обычно каждое аналитическое решение содержит степени свободы (коэффициенты), которые могут быть вычислены для удовлетворения заданных граничных условий вдоль границы элемента. Чтобы получить глобальное решение (т.е. правильные коэффициенты элементов), система уравнений решается так, что граничные условия удовлетворяются по всем элементам (с использованием коллокации , минимизации методом наименьших квадратов или аналогичного подхода). Примечательно, что глобальное решение обеспечивает пространственно непрерывное описание зависимой переменной повсюду в бесконечной области, а основное уравнение выполняется везде, за исключением границы элемента, где основное уравнение не является строго применимым из-за разрыва.

Возможность совмещать многочисленные элементы в одном решении означает, что аналитические решения могут быть реализованы для сколь угодно сложных граничных условий. То есть могут быть решены модели со сложной геометрией, прямыми или изогнутыми границами, несколькими границами, переходными граничными условиями, несколькими слоями водоносного горизонта, кусочно изменяющимися свойствами и непрерывно меняющимися свойствами. Элементы могут быть реализованы с использованием расширений дальнего поля, так что модель, содержащая многие тысячи элементов, может быть эффективно решена с высокой точностью.

Метод аналитических элементов применялся к задачам о потоке подземных вод, которые регулируются множеством линейных дифференциальных уравнений в частных производных, включая Лапласа , уравнение Пуассона , модифицированное уравнение Гельмгольца, уравнение теплопроводности и бигармонические уравнения. Часто эти уравнения решаются с использованием комплексных переменных, что позволяет использовать математические методы, доступные в теории сложных переменных. Полезный метод решения сложных проблем - использование конформного отображения, которое отображает границу геометрии, например эллипса, на границу единичной окружности, где решение известно.

В методе аналитических элементов используются потенциал разряда и функция тока или комбинированный комплексный потенциал. Этот потенциал связывает физические свойства системы грунтовых вод, гидравлический напор или границы потока с математическим представлением в потенциале. Это математическое представление можно использовать для расчета потенциала с точки зрения местоположения и, таким образом, решения проблем, связанных с потоком грунтовых вод. Элементы разрабатываются путем решения граничных условий для любого из этих двух свойств, гидравлического напора или границы потока, что приводит к аналитическим решениям, способным справиться с многочисленными граничными условиями.

Современным учеником Стрэка, который является сторонником метода аналитических элементов (AEM) в приложениях моделирования подземных вод, является доктор Дэвид Стюард из Государственного университета Северной Дакоты.

Сравнение с другими методами

Как уже упоминалось, метод аналитических элементов, таким образом, не полагается на дискретизацию объема или площади в модели, как в случае конечных элементов или конечных различных методов. Таким образом, он может смоделировать сложную задачу с ошибкой порядка машинной точности. Это проиллюстрировано в исследовании, в котором смоделирован весьма неоднородный изотропный водоносный горизонт путем включения 100 000 сферических неоднородностей со случайной проводимостью и отслеживания 40 000 частиц. Метод аналитических элементов можно эффективно использовать в качестве средства проверки или скрининга в более крупных проектах, поскольку он может быстро и точно рассчитать поток грунтовых вод для многих сложных задач.

В отличие от других широко используемых методов моделирования подземных вод, например метода конечных элементов или конечного другого метода, AEM не разделяет область модели на ячейки. Это дает то преимущество, что модель действительна для любой заданной точки в области модели. Однако это также предполагает, что область не так легко разделить на области, например, с различной гидравлической проводимостью, как при моделировании с помощью сетки ячеек. Хотя есть некоторые решения, которые имеют дело с этим, например, существуют решения для реализации вертикально изменяющихся свойств или структур в водоносном горизонте в модели AEM.

Смотрите также

Рекомендации

Читать далее

Внешние ссылки