Очерк решения проблемы в Доктрине Шанса - An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances

Эссе в направлении решения проблемы в Доктрине Возможностей является работа по математической теории вероятностей по Томаса Байеса , опубликованной в 1763 году, два года после смерти автора, и содержащий многочисленные изменения и дополнения связи с его другом Ричард Прайс . Название происходит от современного использования фразы «учение о шансах» означает теорию вероятности, которая была введена помощью названия книги по Муавр . Современные перепечатки эссе носят более конкретное и значимое название: «Метод расчета точной вероятности всех выводов, основанных на индукции» .

Эссе включает теоремы об условной вероятности, которые составляют основу того, что сейчас называется теоремой Байеса , а также подробное рассмотрение проблемы установления априорной вероятности .

Байес предположил последовательность независимых экспериментов, результатом каждого из которых является успех или неудача, причем вероятность успеха равна некоторому числу p от 0 до 1. Но затем он предположил, что p - неопределенная величина, вероятность которой находится в любом интервале между 0 и 1 - длина интервала. Говоря современным языком, p можно было бы рассматривать как случайную величину, равномерно распределенную между 0 и 1. Условно по значению p испытания, приводящие к успеху или неудаче, независимы, но безусловно (или « незначительно ») это не так. Это потому, что если наблюдается большое количество успехов, то p более вероятно будет большим, так что успех в следующем испытании более вероятен. Байес задавал вопрос: каково условное распределение вероятностей p , учитывая количество успехов и неудач, которые наблюдались до сих пор. Ответ состоит в том, что его функция плотности вероятности равна

ƒ ( p ) = 0 для p  <0 или p  > 1), где k - количество успехов, наблюдаемых на данный момент, а n - количество испытаний, наблюдаемых на данный момент. Это то, что сегодня называется бета-распределением с параметрами k  + 1 и n  -  k  + 1.

Контур

Предварительные результаты Байеса по условной вероятности (особенно предложения 3, 4 и 5) предполагают истинность теоремы, названной в его честь. Он заявляет: «Если будут два последующих события, вероятность второго b / N и вероятность того и другого вместе P / N, и сначала обнаруживается, что второе событие также произошло, поэтому я предполагаю, что первое событие тоже произошло, вероятность того, что я прав, равна P / b ". . Символически это означает (см. Stigler 1982):

что приводит к теореме Байеса для условных вероятностей:

Однако не похоже, чтобы Байес акцентировал внимание на этом открытии или сосредоточился на нем. Скорее, он сосредоточился на поиске решения гораздо более широкой проблемы вывода:

«Учитывая количество раз, когда неизвестное событие происходило и не удавалось [... Найти] шанс того, что вероятность того, что это произойдет в одном испытании, находится где-то между любыми двумя степенями вероятности, которые могут быть названы».

В эссе приведен пример человека, пытающегося угадать соотношение «пробелов» и «выигрышей» в лотерее. Пока что мужчина наблюдал за розыгрышем десяти бланков и одного приза. С учетом этих данных Байес подробно показал, как вычислить вероятность того, что соотношение бланков и призов составляет от 9: 1 до 11: 1 (вероятность низкая - около 7,7%). Он продолжил описывать это вычисление после того, как человек наблюдал за розыгрышем в лотерею двадцати бланков и двух призов, сорока бланков и четырех призов и так далее. В итоге, разыграв 10 000 бланков и 1 000 призов, вероятность достигает 97%.

Главный результат Байеса (предложение 9) в современном понимании выглядит следующим образом:

Предположим равномерное априорное распределение биномиального параметра . Наблюдая за успехами и неудачами,

Неясно, был ли Байес «байесовцем» в современном смысле этого слова. То есть интересовался ли он байесовским выводом или просто вероятностью . Предложение 9 кажется «байесовским» в его представлении как вероятности параметра . Однако Байес сформулировал свой вопрос в манере, которая предполагает частую точку зрения: он предположил, что шар случайно брошен на квадратный стол (этот стол часто ошибочно принимают за бильярдный стол, а шар - за бильярдный шар, но Байес никогда не делал этого). описывает их как таковые), и рассматривал дальнейшие шары, которые падают слева или справа от первого шара с вероятностями и . Алгебра, конечно же, идентична независимо от того, какую точку зрения выбрать.

Ричард Прайс и существование Бога

Ричард Прайс обнаружил эссе Байеса и его ныне знаменитую теорему в статьях Байеса после его смерти. Он считал, что теорема Байеса помогла доказать существование Бога («Божества»), и написал во введении к эссе следующее:

"Цель, которую я имею в виду, состоит в том, чтобы показать, какие у нас есть основания полагать, что в устройстве вещей есть фиксированные законы, в соответствии с которыми вещи происходят, и что, следовательно, структура мира должна быть результатом мудрости и силы. разумной причины; и тем самым подтвердить аргумент, взятый из конечных причин существования Божества. Легко увидеть, что обратная проблема, решенная в этом эссе, более непосредственно применима к этой цели, поскольку она показывает нам, что ясность и точность, в каждом случае любого конкретного порядка или повторяемости событий, какие есть основания полагать, что такая повторяемость или порядок проистекает из устойчивых причин или правил в природе, а не из каких-либо случайных отклонений ". (Философские труды Лондонского королевского общества, 1763 г.)

Говоря современным языком, это пример телеологического аргумента .

Версии сочинения

  • Байес, мистер; Прайс, мистер (1763 г.). «Очерк решения проблемы в доктрине шансов. Покойного преподобного г-на Байеса, ФРС, переданное г-ном Прайсом, в письме Джону Кантону, AMFR S» (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества . 53 : 370–418. DOI : 10,1098 / rstl.1763.0053 .
  • Барнард, Г. А (1958). «Исследования по истории вероятности и статистики: Ix. Эссе Томаса Байеса о решении проблемы в доктрине вероятностей». Биометрика . 45 (3–4): 293–295. DOI : 10.1093 / Biomet / 45.3-4.293 .
  • Томас Байес «Очерк решения проблемы в Доктрине Шанса» . (Эссе Байеса в оригинальных обозначениях)

Комментарии

  • Г. А. Барнард (1958) "Исследования по истории вероятности и статистики: IX. Эссе Томаса Байеса о решении проблемы в доктрине вероятностей", Biometrika 45: 293–295. (биографические примечания)
  • Стивен М. Стиглер (1982). «Байесовский вывод Томаса Байеса», Журнал Королевского статистического общества , серия A, 145: 250–258. (Стиглер выступает за новую интерпретацию эссе; рекомендуется)
  • Исаак Тодхантер (1865 г.). История математической теории вероятностей со времен Паскаля до Лапласа , Макмиллана. Перепечатано «Челси» в 1949, 1956 годах и Томмесом в 2001 году.

Рекомендации

Внешние ссылки