Матрица переменных знаков - Alternating sign matrix
В математике матрица с чередованием знаков - это квадратная матрица из нулей, единиц и -1, так что сумма каждой строки и столбца равна 1, а ненулевые элементы в каждой строке и столбце чередуются по знаку. Эти матрицы обобщают матрицы перестановок и возникают естественным образом при использовании уплотнения Доджсона для вычисления определителя. Они также тесно связаны с шестивершинной моделью с граничными условиями доменной стенки из статистической механики . Впервые они были определены Уильямом Миллсом, Дэвидом Роббинсом и Говардом Рамси в первом контексте.
Примеры
Матрица перестановок представляет собой матрицу Знакопеременности, и матрица Знакопеременности является матрицей перестановок , если и только запись не равна -1 .
Примером матрицы чередующихся знаков, которая не является матрицей перестановок, является
Матричная теорема о переменном знаке
Теорема о переменных знаках утверждает, что количество матриц с переменными знаками равно
Первые несколько членов в этой последовательности для n = 0, 1, 2, 3,…
Эта теорема была впервые доказана Дороном Зейлбергером в 1992 году. В 1995 году Грег Куперберг представил краткое доказательство, основанное на уравнении Янга – Бакстера для шестивершинной модели с граничными условиями доменной стенки, в котором используется вычисление детерминанта Анатолия Изергина. В 2005 году Илзе Фишер представила третье доказательство с использованием так называемого операторного метода .
Проблема Разумова – Строганова.
В 2001 году А. Разумов и Ю. Строганов предположили связь между моделью цикла O (1), моделью полностью упакованного цикла (FPL) и ASM. Эта гипотеза была доказана в 2010 году Кантини и Спортиелло.
использованная литература
дальнейшее чтение
- Брессуд, Дэвид М. , Доказательства и подтверждения , MAA Spectrum, Mathematical Association of America, Вашингтон, округ Колумбия, 1999.
- Брессуд, Дэвид М. и Пропп, Джеймс, Как была решена гипотеза о знакопеременной матрице , Извещения Американского математического общества , 46 (1999), 637–646.
- Миллс, Уильям Х., Роббинс, Дэвид П. и Рамси, Ховард-младший, Доказательство гипотезы Макдональда, Inventiones Mathematicae , 66 (1982), 73–87.
- Миллс, Уильям Х., Роббинс, Дэвид П. и Рамси, Ховард-младший, Матрицы с переменными знаками и нисходящие плоские разбиения, Журнал комбинаторной теории, серия A , 34 (1983), 340–359.
- Пропп, Джеймс, Многоликая матрица с чередующимися знаками , Дискретная математика и теоретическая информатика , Специальный выпуск о дискретных моделях: комбинаторика, вычисления и геометрия (июль 2001 г.).
- Разумов А.В., Строганов Ю. Г., Комбинаторная природа вектора основного состояния модели O (1) петля , Теор. Математика. Phys. , 138 (2004), 333–337.
- Разумов А.В., Строганов Ю. Г., Модель петли O (1) с различными граничными условиями и классами симметрии знакопеременных матриц // Теор. Математика. Phys. , 142 (2005), 237–243, arXiv : cond-mat / 0108103
- Robbins, Дэвид П. , История , Математическая Интеллидженсер , 13 (2), 12-19 (1991), DOI : 10.1007 / BF03024081 .
- Зейлбергер, Дорон , Доказательство гипотезы о уточненной матрице переменных знаков , New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.
внешние ссылки
- Запись матрицы чередующихся знаков в MathWorld
- Запись матриц с переменными знаками в базе данных FindStat