Матрица переменных знаков - Alternating sign matrix

Семь матриц чередующихся знаков размера 3

В математике матрица с чередованием знаков - это квадратная матрица из нулей, единиц и -1, так что сумма каждой строки и столбца равна 1, а ненулевые элементы в каждой строке и столбце чередуются по знаку. Эти матрицы обобщают матрицы перестановок и возникают естественным образом при использовании уплотнения Доджсона для вычисления определителя. Они также тесно связаны с шестивершинной моделью с граничными условиями доменной стенки из статистической механики . Впервые они были определены Уильямом Миллсом, Дэвидом Роббинсом и Говардом Рамси в первом контексте.

Примеры

Матрица перестановок представляет собой матрицу Знакопеременности, и матрица Знакопеременности является матрицей перестановок , если и только запись не равна -1 .

Примером матрицы чередующихся знаков, которая не является матрицей перестановок, является

Картинка-головоломка

Матричная теорема о переменном знаке

Теорема о переменных знаках утверждает, что количество матриц с переменными знаками равно

Первые несколько членов в этой последовательности для n = 0, 1, 2, 3,…

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348,… (последовательность A005130 в OEIS ).

Эта теорема была впервые доказана Дороном Зейлбергером в 1992 году. В 1995 году Грег Куперберг представил краткое доказательство, основанное на уравнении Янга – Бакстера для шестивершинной модели с граничными условиями доменной стенки, в котором используется вычисление детерминанта Анатолия Изергина. В 2005 году Илзе Фишер представила третье доказательство с использованием так называемого операторного метода .

Проблема Разумова – Строганова.

В 2001 году А. Разумов и Ю. Строганов предположили связь между моделью цикла O (1), моделью полностью упакованного цикла (FPL) и ASM. Эта гипотеза была доказана в 2010 году Кантини и Спортиелло.

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки