Вариация Аллана - Allan variance

Часы легче всего проверить, сравнив их с гораздо более точными эталонными часами. В течение интервала времени τ , измеряемого эталонными часами, тестируемые часы продвигаются вперед на τy , где y - средняя (относительная) тактовая частота за этот интервал. Если мы измеряем два последовательных интервала, как показано, мы можем получить значение ( y - y ') ² - меньшее значение указывает на более стабильные и точные часы. Если мы повторим эту процедуру много раз, среднее значение ( y - y ′) ² будет равно удвоенной дисперсии Аллана (или квадрату отклонения Аллана) для времени наблюдения τ .

Дисперсия Аллана ( AVAR ), также известная как два образца дисперсия , является мерой стабильности частоты в часах , генераторах и усилителях . Он назван в честь Дэвида У. Аллана и математически выражается как . Отклонение Аллана ( ADEV ), также известное как сигма-тау , есть квадратный корень из дисперсии Аллана, . ${\ Displaystyle \ sigma _ {у} ^ {2} (\ тау)}$${\ Displaystyle \ sigma _ {у} (\ тау)}$

М-выборочная дисперсия является мерой стабильности частоты с использованием М выборок, времени T между измерениями и времени наблюдения . M -выборочная дисперсия выражается как ${\ Displaystyle \ тау}$

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (M, T, \ tau).}$

Дисперсия Аллана предназначена для оценки стабильности из-за шумовых процессов, а не из-за систематических ошибок или недостатков, таких как дрейф частоты или температурные эффекты. Дисперсия Аллана и девиация Аллана описывают стабильность частоты. См. Также раздел « Интерпретация стоимости» ниже.

Существуют также различные адаптации или изменения дисперсии Аллана, в частности, модифицированная дисперсия Аллана MAVAR или MVAR, общая дисперсия и дисперсия Адамара . Также существуют варианты временной стабильности, такие как временное отклонение (TDEV) или временное отклонение (TVAR). Дисперсия Аллана и ее варианты оказались полезными вне рамок хронометража и представляют собой набор улучшенных статистических инструментов, которые можно использовать всякий раз, когда шумовые процессы не являются безусловно стабильными, поэтому существует производная.

Общая дисперсия M- выборки остается важной, поскольку она допускает мертвое время в измерениях, а функции смещения позволяют преобразовывать в значения дисперсии Аллана. Тем не менее, для большинства приложений наибольший интерес представляет особый случай 2-выборки, или «вариации Аллана» с . ${\ Displaystyle Т = \ тау}$

Пример графика отклонения Аллана часов. При очень коротком времени наблюдения τ отклонение Аллана велико из-за шума. При больших τ он уменьшается, так как шум усредняется. При еще большем значении τ отклонение Аллана снова начинает увеличиваться, предполагая, что тактовая частота постепенно дрейфует из-за изменений температуры, старения компонентов или других подобных факторов. Планки погрешностей увеличиваются с увеличением τ просто потому, что получение большого количества точек данных для больших τ занимает много времени .

Фон

При исследовании стабильности кварцевых генераторов и атомных часов было обнаружено, что они не имеют фазового шума, состоящего только из белого шума , но также из шума частоты мерцания . Эти формы шума становятся проблемой для традиционных статистических инструментов, таких как стандартное отклонение , поскольку оценка не сходится. Таким образом, шум считается расходящимся. Первые попытки анализа стабильности включали как теоретический анализ, так и практические измерения.

Важным побочным следствием наличия этих типов шума было то, что, поскольку различные методы измерений не согласовывались друг с другом, ключевой аспект повторяемости измерения не мог быть достигнут. Это ограничивает возможность сравнения источников и составления значимых спецификаций, требуемых от поставщиков. По сути, все формы научного и коммерческого использования тогда ограничивались специальными измерениями, которые, как мы надеемся, улавливают потребность в этом приложении.

Чтобы решить эти проблемы, Дэвид Аллан ввел дисперсию M- выборки и (косвенно) дисперсию двух выборок. Хотя двухвыборочная дисперсия не позволяла полностью различить все типы шума, она предоставила средства для значимого разделения многих форм шума для временных рядов измерений фазы или частоты между двумя или более генераторами. Аллан предоставил метод преобразования любой дисперсии M- выборки в любую дисперсию N- выборки с помощью общей дисперсии для двух выборок, что сделало все дисперсии M- выборки сопоставимыми. Механизм преобразования также доказал, что дисперсия M -выборки не сходится для больших M , что делает их менее полезными. Позже IEEE определил двухвыборочную дисперсию как предпочтительную меру.

Первоначальное беспокойство было связано с приборами для измерения времени и частоты, которые имели мертвое время между измерениями. Такая серия измерений не обеспечивала непрерывного наблюдения за сигналом и, таким образом, вносила систематическую погрешность в измерение. Оценка этих предубеждений была проведена с большой осторожностью. Введение счетчиков с нулевым мертвым временем устранило необходимость, но инструменты анализа смещения оказались полезными.

Другой ранний аспект беспокойства был связан с тем, как полоса пропускания измерительного прибора будет влиять на измерение, так что это необходимо было отметить. Позже было обнаружено, что при алгоритмическом изменении наблюдения будут затронуты только низкие значения, в то время как более высокие значения останутся неизменными. Изменение осуществляется путем использования целого числа, кратного оси времени измерения : ${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ tau _ {0}}$

${\ Displaystyle \ тау = п \ тау _ {0}.}$

Физика кварцевых осцилляторов была проанализирована Д. Б. Лисоном, и теперь результат называется уравнением Лисона . Обратная связь в генераторе сделает белый шум и фликкер - шум усилителя обратной связи и кристалл становится степенными шумами от белого шума частоты и частоты мерцания шума соответственно. Эти формы шума приводят к тому, что стандартная оценка дисперсии не сходится при обработке отсчетов временной ошибки. Эта механика осцилляторов обратной связи была неизвестна, когда началась работа над стабильностью осцилляторов, но была представлена ​​Лисоном одновременно с набором статистических инструментов, предоставленным Дэвидом У. Алланом . Более подробное описание эффекта Лисона можно найти в современной литературе по фазовому шуму. ${\ displaystyle f ^ {- 2}}$${\ displaystyle f ^ {- 3}}$

Интерпретация стоимости

Дисперсия Аллана определяется как половина среднего по времени квадратов разностей между последовательными показаниями отклонения частоты, отобранными за период дискретизации. Дисперсия Аллана зависит от периода времени, используемого между выборками, поэтому она является функцией периода выборки, обычно обозначаемого как τ , аналогично измеряемому распределению и отображается в виде графика, а не одного числа. Низкая дисперсия Аллана - это характеристика часов с хорошей стабильностью в течение измеряемого периода.

Отклонение Аллана широко используется для построения графиков (обычно в формате log – log ) и представления чисел. Это предпочтительнее, так как дает относительную стабильность амплитуды, позволяя легко сравнивать с другими источниками ошибок.

Отклонение Аллана 1,3 × 10 ⁻⁹ при времени наблюдения 1 с (т. Е. Τ = 1 с) следует интерпретировать как нестабильность частоты между двумя наблюдениями с интервалом в 1 секунду с относительным среднеквадратичным значением (RMS) 1,3 × 10 ⁻⁹ . Для тактовой частоты 10 МГц это будет эквивалентно перемещению RMS на 13 МГц. Если необходима фазовая стабильность генератора, следует проконсультироваться и использовать варианты отклонения по времени .

Можно преобразовать дисперсию Аллана и другие дисперсии во временной области в измерения времени (фазы) и стабильности частоты в частотной области.

Определения

M -выборочная дисперсия

-Sample дисперсия определяется ( в данном случае в модернизированном виде обозначений) , как ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (M, T, \ tau) = {\ frac {1} {M-1}} \ left \ {\ sum _ {i = 0} ^ {M- 1} \ left [{\ frac {x (iT + \ tau) -x (iT)} {\ tau}} \ right] ^ {2} - {\ frac {1} {M}} \ left [\ sum _ {i = 0} ^ {M-1} {\ frac {x (iT + \ tau) -x (iT)} {\ tau}} \ right] ^ {2} \ right \},}$

где - показание часов (в секундах), измеренное во времени , или с временным рядом средней дробной частоты${\ Displaystyle х (т)}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (M, T, \ tau) = {\ frac {1} {M-1}} \ left \ {\ sum _ {i = 0} ^ {M- 1} {\ bar {y}} _ {i} ^ {2} - {\ frac {1} {M}} \ left [\ sum _ {i = 0} ^ {M-1} {\ bar {y }} _ {i} \ right] ^ {2} \ right \},}$

где - количество частотных выборок, используемых в дисперсии, - время между каждой частотной выборкой и - продолжительность каждой оценки частоты. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ тау}$

Важным аспектом является то, что модель дисперсии выборки может включать мертвое время, позволяя времени отличаться от этого . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ тау}$

Дисперсия Аллана

Дисперсия Аллана определяется как

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (2, \ tau, \ tau) \ rangle,}$

где обозначает оператор математического ожидания. Это удобно выразить как ${\ displaystyle \ langle \ dots \ rangle}$

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = {\ frac {1} {2}} \ langle ({\ bar {y}} _ {n + 1} - {\ bar {y }} _ {n}) ^ {2} \ rangle = {\ frac {1} {2 \ tau ^ {2}}} \ langle (x_ {n + 2} -2x_ {n + 1} + x_ {n }) ^ {2} \ rangle,}$

где - период наблюдения, - n- е среднее значение дробной частоты за время наблюдения . ${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle {\ bar {y}} _ {n}}$${\ Displaystyle \ тау}$

Образцы отбираются без мертвого времени между ними, что достигается за счет того, что

${\ displaystyle T = \ tau.}$

Отклонение Аллана

Как и в случае стандартного отклонения и дисперсии , отклонение Аллана определяется как квадратный корень из дисперсии Аллана:

${\ displaystyle \ sigma _ {y} (\ tau) = {\ sqrt {\ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau)}}.}.$

Вспомогательные определения

Модель осциллятора

Предполагается, что анализируемый осциллятор следует базовой модели

${\ Displaystyle V (t) = V_ {0} \ sin (\ Phi (t)).}$

Предполагается, что осциллятор имеет номинальную частоту , выраженную в циклах в секунду (единица СИ: герцы ). Номинальная угловая частота (в радианах в секунду) определяется выражением ${\ Displaystyle \ ню _ {\ текст {п}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}}}$

${\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}} = 2 \ pi \ nu _ {\ text {n}}.}$

Полная фаза может быть разделена на идеально циклическую составляющую вместе с флуктуирующей составляющей : ${\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}} t}$${\ Displaystyle \ varphi (т)}$

${\ displaystyle \ Phi (t) = \ omega _ {\ text {n}} t + \ varphi (t) = 2 \ pi \ nu _ {\ text {n}} t + \ varphi (t).}$

Ошибка времени

Функция временной ошибки x ( t ) - это разница между ожидаемым номинальным временем и фактическим нормальным временем:

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {\ varphi (t)} {2 \ pi \ nu _ {\ text {n}}}} = {\ frac {\ Phi (t)} {2 \ pi \ nu _ {\ text {n}}}} - t = T (t) -t.}$

Для измеренных значений ряд ошибок времени TE ( t ) определяется из функции эталонного времени T _REF ( t ) как

${\ Displaystyle TE (t) = T (t) -T _ {\ text {REF}} (t).}$

Частотная функция

Функция частоты - это частота во времени, определяемая как ${\ Displaystyle \ ню (т)}$

${\ displaystyle \ nu (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ frac {d \ Phi (t)} {dt}}.}$

Дробная частота

Дробная частота y ( t ) - это нормализованная разница между частотой и номинальной частотой : ${\ Displaystyle \ ню (т)}$${\ Displaystyle \ ню _ {\ текст {п}}}$

${\ displaystyle y (t) = {\ frac {\ nu (t) - \ nu _ {\ text {n}}} {\ nu _ {\ text {n}}}} = {\ frac {\ nu ( t)} {\ nu _ {\ text {n}}}} - 1.}$

Средняя дробная частота

Средняя дробная частота определяется как

${\ displaystyle {\ bar {y}} (t, \ tau) = {\ frac {1} {\ tau}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ tau} y (t + t_ {v}) \, dt_ {v},}$

где среднее значение берется за время наблюдения τ , y ( t ) - это относительная частотная ошибка в момент времени t , а τ - время наблюдения.

Поскольку y ( t ) является производной от x ( t ), мы можем без ограничения общности переписать ее как

${\ displaystyle {\ bar {y}} (t, \ tau) = {\ frac {x (t + \ tau) -x (t)} {\ tau}}.}$

Оценщики

Это определение основано на статистическом ожидаемом значении , интегрируемом за бесконечное время. Реальная ситуация не позволяет использовать такие временные ряды, и в этом случае вместо него необходимо использовать статистический оценщик . Будет представлен и обсужден ряд различных оценок.

Условные обозначения

• Количество выборок частоты в серии дробных частот обозначаются M .
• Количество временных выборок ошибок в серии временных ошибок обозначаются N .

Связь между количеством отсчетов с дробной частотой и сериями временных ошибок фиксируется соотношением

${\ displaystyle N = M + 1.}$

• Для серии отсчетов с ошибкой времени x _i обозначает i- ый отсчет функции непрерывного времени x ( t ), как задано формулой

${\ displaystyle x_ {i} = x (iT),}$

где T - время между измерениями. Для дисперсии Аллана используемое время имеет значение T, равное времени наблюдения τ .

В серии отсчетов временных ошибок N обозначает количество отсчетов ( x ₀ ... x _{N -1} ) в серии. Традиционная конвенция использует индекс 1 через N .

• Для серии выборок средней дробной частоты , обозначает i- ю выборку средней непрерывной функции дробной частоты y ( t ), как задано формулой${\ displaystyle {\ bar {y}} _ {i}}$

${\ displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ bar {y}} (Ti, \ tau),}$

который дает

${\ displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ frac {1} {\ tau}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ tau} y (iT + t_ {v}) \, dt_ {v} = {\ frac {x (iT + \ tau) -x (iT)} {\ tau}}.}.$

Для предположения дисперсии Аллана о том, что T равно τ, становится

${\ displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ frac {x_ {i + 1} -x_ {i}} {\ tau}}.}$

Средняя дробно-частота выборки серии позволяет М обозначает число выборок ( ) в серии. Традиционная конвенция использует индекс 1 через M . ${\ displaystyle {\ bar {y}} _ {0} \ ldots {\ bar {y}} _ {M-1}}$

Для краткости средняя дробная частота часто пишется без средней полосы над ней. Однако это формально неверно, поскольку дробная частота и средняя дробная частота - две разные функции. Измерительный прибор, способный производить оценки частоты без мертвого времени, фактически предоставляет временные ряды со средней частотой, которые нужно только преобразовать в среднюю дробную частоту и затем использовать напрямую.

• Кроме того, принято использовать τ для обозначения номинальной разницы во времени между соседними фазовыми или частотными отсчетами. Временной ряд, взятый для одной разницы во времени τ _0, может использоваться для генерации дисперсии Аллана для любого τ, являющегося целым кратным τ ₀ , и в этом случае используется τ = nτ ₀ , и n становится переменной для оценки.
• Время между измерениями обозначается буквой T , которая представляет собой сумму времени наблюдения τ и мертвого времени.

Фиксированные оценки τ

Первым простым средством оценки было бы прямое преобразование определения в

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau, M) = {\ text {AVAR}} (\ tau, M) = {\ frac {1} {2 (M-1)}} \ сумма _ {i = 0} ^ {M-2} ({\ bar {y}} _ {i + 1} - {\ bar {y}} _ {i}) ^ {2},}$

или для временного ряда:

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau, N) = {\ text {AVAR}} (\ tau, N) = {\ frac {1} {2 \ tau ^ {2} (N -2)}} \ sum _ {i = 0} ^ {N-3} (x_ {i + 2} -2x_ {i + 1} + x_ {i}) ^ {2}.}$

Эти формулы, однако, обеспечивают расчет только для случая τ = τ ₀ . Чтобы рассчитать другое значение τ , необходимо предоставить новый временной ряд.

Неперекрывающиеся оценки переменных τ

Взяв временной ряд и пропустив n  - 1 выборку, возникнет новый (более короткий) временной ряд с τ ₀ как время между соседними выборками, для которого дисперсия Аллана может быть рассчитана с помощью простых оценок. Их можно было бы изменить, чтобы ввести новую переменную n , чтобы не нужно было создавать новые временные ряды, а вместо этого можно было бы повторно использовать исходные временные ряды для различных значений n . Оценщики становятся

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (n \ tau _ {0}, M) = {\ text {AVAR}} (n \ tau _ {0}, M) = {\ frac {1} {2 {\ frac {M-1} {n}}}} \ sum _ {i = 0} ^ {{\ frac {M-1} {n}} - 1} ({\ bar {y}} _ {ni + n} - {\ bar {y}} _ {ni}) ^ {2}}$

с , ${\ Displaystyle п \ Leq M-1}$

и для временного ряда:

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (n \ tau _ {0}, N) = {\ text {AVAR}} (n \ tau _ {0}, N) = {\ frac {1} {2n ^ {2} \ tau _ {0} ^ {2} ({\ frac {N-1} {n}} - 1)}} \ sum _ {i = 0} ^ {{\ frac {N- 1} {n}} - 2} (x_ {ni + 2n} -2x_ {ni + n} + x_ {ni}) ^ {2}}$

с . ${\ Displaystyle п \ leq {\ гидроразрыва {N-1} {2}}}$

У этих оценщиков есть существенный недостаток, заключающийся в том, что они отбрасывают значительный объем выборочных данных, поскольку используется только 1 / n из доступных выборок.

Перекрывающиеся оценки переменных τ

Методика, представленная Дж. Дж. Снайдером, предоставила улучшенный инструмент, поскольку измерения были перекрыты в n перекрывающихся сериях из исходной серии. Перекрывающаяся оценка дисперсии Аллана была введена Хоу, Алланом и Барнсом. Можно показать, что это эквивалентно усреднению временных или нормированных частотных отсчетов в блоках по n отсчетов перед обработкой. Результирующий предиктор становится

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (n \ tau _ {0}, M) = {\ text {AVAR}} (n \ tau _ {0}, M) = {\ frac {1} {2n ^ {2} (M-2n + 1)}} \ sum _ {j = 0} ^ {M-2n} \ left (\ sum _ {i = j} ^ {j + n-1} y_ { i + n} -y_ {i} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {2 (M-2n + 1)}} \ sum _ {j = 0} ^ {M-2n} \ left ({\ bar {y}} _ {j + n} - {\ bar {y}} _ {j} \ right) ^ {2},}$

или для временного ряда:

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (n \ tau _ {0}, N) = {\ text {AVAR}} (n \ tau _ {0}, N) = {\ frac {1} {2n ^ {2} \ tau _ {0} ^ {2} (N-2n)}} \ sum _ {i = 0} ^ {N-2n-1} (x_ {i + 2n} -2x_ {i + n} + x_ {i}) ^ {2}.}$

Перекрывающиеся оценщики имеют намного лучшие характеристики по сравнению с непересекающимися оценщиками, поскольку n возрастает, а временные ряды имеют умеренную длину. Перекрывающиеся оценки были приняты в качестве предпочтительных оценок дисперсии Аллана в стандартах IEEE, ITU-T и ETSI для сопоставимых измерений, например, необходимых для аттестации электросвязи.

Модифицированная дисперсия Аллана

Чтобы решить проблему неспособности отделить модуляцию фазы белого от модуляции фазы мерцания с использованием традиционных средств оценки дисперсии Аллана, алгоритмическая фильтрация уменьшает полосу пропускания на n . Эта фильтрация обеспечивает модификацию определения и оценок, и теперь она идентифицируется как отдельный класс дисперсии, называемый модифицированной дисперсией Аллана . Модифицированная мера дисперсии Аллана является мерой стабильности частоты, так же как и дисперсия Аллана.

Оценщики временной устойчивости

Статистическая мера стабильности во времени (σ _x ), которую часто называют отклонением во времени (TDEV), может быть рассчитана на основе модифицированного отклонения Аллана (MDEV). TDEV основан на MDEV вместо исходного отклонения Аллана, поскольку MDEV может различать фазовую модуляцию белого и мерцания (PM). Ниже приводится оценка временной дисперсии на основе модифицированной дисперсии Аллана:

${\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} (\ tau) = {\ frac {\ tau ^ {2}} {3}} {\ bmod {\ sigma}} _ {y} ^ {2} ( \ тау),}$

и аналогично для модифицированного отклонения Аллана к отклонению во времени :

${\ displaystyle \ sigma _ {x} (\ tau) = {\ frac {\ tau} {\ sqrt {3}}} {\ bmod {\ sigma}} _ {y} (\ tau).}$

TDEV нормализован так, чтобы он был равен классическому отклонению для белого PM для постоянной времени τ =  τ ₀ . Чтобы понять масштабный коэффициент нормализации между статистическими показателями, используйте следующее статистическое правило: для независимых случайных величин X и Y дисперсия (σ _z ² ) суммы или разности ( z = x - y ) представляет собой квадрат суммы их дисперсий (σ _z ² = σ _x ² + σ _y ² ). Дисперсия суммы или разности ( y = x _{2 τ} - x _τ ) двух независимых выборок случайной величины вдвое превышает дисперсию случайной величины (σ _y ² = 2σ _x ² ). MDEV - это вторая разность независимых фазовых измерений ( x ), которые имеют дисперсию (σ _x ² ). Поскольку расчет представляет собой двойную разность, которая требует трех независимых фазовых измерений ( x _{2 τ} - 2 x _τ + x ), модифицированная дисперсия Аллана (MVAR) в три раза превышает дисперсию фазовых измерений.

Другие оценщики

Дальнейшие разработки привели к появлению улучшенных методов оценки для той же меры стабильности, дисперсии / отклонения частоты, но они известны под разными названиями, такими как дисперсия Адамара , модифицированная дисперсия Адамара , общая дисперсия , модифицированная общая дисперсия и дисперсия Тео . Они отличаются лучшим использованием статистики для улучшения доверительных границ или способностью справляться с линейным дрейфом частоты.

Доверительные интервалы и эквивалентные степени свободы

Статистические оценщики рассчитают оценочное значение для использованной выборки. Оценки могут отклоняться от истинного значения, и диапазон значений, который с некоторой вероятностью будет содержать истинное значение, называется доверительным интервалом . Доверительный интервал зависит от количества наблюдений в выборке, преобладающего типа шума и используемой оценки. Ширина также зависит от статистической достоверности, для которой значения доверительного интервала образуют ограниченный диапазон, таким образом, статистическая уверенность в том, что истинное значение находится в этом диапазоне значений. Для оценок переменной τ кратное τ ₀ n также является переменной.

Доверительный интервал

Доверительный интервал может быть установлен с помощью критерия хи-квадрат распределение с использованием распределения образца дисперсии :

${\ displaystyle \ chi ^ {2} = {\ frac {{\ text {df}} \, s ^ ​​{2}} {\ sigma ^ {2}}},}$

где s ² - выборочная дисперсия нашей оценки, σ ² - истинное значение дисперсии, df - степени свободы для оценки, а χ ² - степени свободы для определенной вероятности. Для вероятности 90%, охватывающей диапазон от 5% до 95% на кривой вероятности, верхний и нижний пределы можно найти с помощью неравенства

${\ displaystyle \ chi ^ {2} (0,05) \ leq {\ frac {{\ text {df}} \, s ^ ​​{2}} {\ sigma ^ {2}}} \ leq \ chi ^ {2} (0,95),}$

который после перестановки для истинной дисперсии становится

${\ displaystyle {\ frac {{\ text {df}} \, s ^ ​​{2}} {\ chi ^ {2} (0,95)}} \ leq \ sigma ^ {2} \ leq {\ frac {{\ текст {df}} \, s ^ ​​{2}} {\ chi ^ {2} (0.05)}}.}$

Эффективные степени свободы

В степени свободы представляет собой число свободных переменных , способных внести свой вклад в оценку. В зависимости от оценщика и типа шума эффективные степени свободы различаются. Формулы оценки в зависимости от N и n найдены эмпирическим путем:

Степени свободы по вариации Аллана

Тип шума	степени свободы
модуляция фазы белого (WPM)	${\ displaystyle {\ text {df}} \ cong {\ frac {(N + 1) (N-2n)} {2 (Nn)}}}$
фазовая модуляция мерцания (FPM)	${\ displaystyle {\ text {df}} \ cong \ exp \ left [\ left (\ ln {\ frac {N-1} {2n}} \ ln {\ frac {(2n + 1) (N-1) } {4}} \ right) ^ {- 1/2} \ right]}$
белая частотная модуляция (WFM)	${\ displaystyle {\ text {df}} \ cong \ left [{\ frac {3 (N-1)} {2n}} - {\ frac {2 (N-2)} {N}} \ right] { \ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} +5}}}$
частотная модуляция мерцания (FFM)	${\ displaystyle {\ text {df}} \ cong {\ begin {cases} {\ frac {2 (N-2)} {2.3N-4.9}} & n = 1 \\ {\ frac {5N ^ {2} } {4n (N + 3n)}} & n \ geq 2 \ end {case}}}$
частотная модуляция случайного блуждания (RWFM)	${\ displaystyle {\ text {df}} \ cong {\ frac {N-2} {n}} {\ frac {(N-1) ^ {2} -3n (N-1) + 4n ^ {2} } {(N-3) ^ {2}}}}$

Степенной шум

Дисперсия Аллана будет обрабатывать различные типы степенного шума по- разному, что позволяет легко идентифицировать их и оценивать их интенсивность. По соглашению, ширина измерительной системы (высокая угловая частота) обозначается F _H .

Степенной закон дисперсии Аллана

Тип шума по степенному закону	Наклон фазового шума	Наклон частотного шума	Коэффициент мощности	Фазовый шум ${\ Displaystyle S_ {x} (е)}$	Дисперсия Аллана ${\ Displaystyle \ sigma _ {у} ^ {2} (\ тау)}$	Отклонение Аллана ${\ Displaystyle \ sigma _ {у} (\ тау)}$
модуляция фазы белого (WPM)	${\ displaystyle f ^ {0} = 1}$	${\ displaystyle f ^ {2}}$	${\ displaystyle h_ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}} h_ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {3f_ {H}} {4 \ pi ^ {2} \ tau ^ {2}}} h_ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3f_ {H}}} {2 \ pi \ tau}} {\ sqrt {h_ {2}}}}$
фазовая модуляция мерцания (FPM)	${\ displaystyle f ^ {- 1}}$	${\ displaystyle f ^ {1} = f}$	${\ displaystyle h_ {1}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2} f}} h_ {1}}$	${\ displaystyle {\ frac {3 [\ gamma + \ ln (2 \ pi f_ {H} \ tau)] - \ ln 2} {4 \ pi ^ {2} \ tau ^ {2}}} h_ {1 }}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3 [\ gamma + \ ln (2 \ pi f_ {H} \ tau)] - \ ln 2}} {2 \ pi \ tau}} {\ sqrt {h_ {1 }}}}$
белая частотная модуляция (WFM)	${\ displaystyle f ^ {- 2}}$	${\ displaystyle f ^ {0} = 1}$	${\ displaystyle h_ {0}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2} f ^ {2}}} h_ {0}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ tau}} h_ {0}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ tau}}} {\ sqrt {h_ {0}}}}$
частотная модуляция мерцания (FFM)	${\ displaystyle f ^ {- 3}}$	${\ displaystyle f ^ {- 1}}$	${\ displaystyle h _ {- 1}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2} f ^ {3}}} ч _ {- 1}}$	${\ Displaystyle 2 \ ln (2) ч _ {- 1}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ ln (2)}} {\ sqrt {h _ {- 1}}}}$
частотная модуляция случайного блуждания (RWFM)	${\ displaystyle f ^ {- 4}}$	${\ displaystyle f ^ {- 2}}$	${\ displaystyle h _ {- 2}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2} f ^ {4}}} ч _ {- 2}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {2} \ tau} {3}} ч _ {- 2}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ pi {\ sqrt {2 \ tau}}} {\ sqrt {3}}} {\ sqrt {h _ {- 2}}}}$

Как в современных формах, так и в них.

Дисперсия Аллана не может различить WPM и FPM, но способна разрешить другие типы степенного шума. Чтобы различать WPM и FPM, необходимо использовать модифицированную дисперсию Аллана .

Приведенные выше формулы предполагают, что

${\ displaystyle \ tau \ gg {\ frac {1} {2 \ pi f_ {H}}},}$

и, таким образом, ширина полосы времени наблюдения намного меньше ширины полосы частот инструментов. Когда это условие не выполняется, все формы шума зависят от полосы пропускания прибора.

отображение α - μ

Подробное отображение фазовой модуляции вида

${\ displaystyle S_ {x} (f) = {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} h _ {\ alpha} f ^ {\ alpha -2} = {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} h _ {\ alpha} f ^ {\ beta},}$

куда

${\ Displaystyle \ бета \ эквив \ альфа -2,}$

или частотная модуляция формы

${\ Displaystyle S_ {y} (е) = час _ {\ альфа} е ^ {\ альфа}}$

в вариацию Аллана формы

${\ Displaystyle \ сигма _ {у} ^ {2} (\ тау) = К _ {\ альфа} ч _ {\ альфа} \ тау ^ {\ му}}$

можно значительно упростить, предоставив отображение между α и μ . Для удобства также представлено отображение между α и K _α :

Отображение вариации Аллана α - μ

α	β	μ	К α
−2	−4	1	${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {2}} {3}}}$
−1	−3	0	${\ Displaystyle 2 \ ln 2}$
0	−2	−1	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$
1	−1	−2	${\ displaystyle {\ frac {3 [\ gamma + \ ln (2 \ pi f_ {H} \ tau)] - \ ln 2} {4 \ pi ^ {2}}}}$
2	0	−2	${\ displaystyle {\ frac {3f_ {H}} {4 \ pi ^ {2}}}}$

Общее преобразование фазового шума

Сигнал со спектральным фазовым шумом в единицах рад ² / Гц может быть преобразован в дисперсию Аллана с помощью ${\ displaystyle S _ {\ varphi}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = {\ frac {2} {\ nu _ {0} ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {f_ {b}} S _ {\ varphi} (f) {\ frac {\ sin ^ {4} (\ pi \ tau f)} {(\ pi \ tau) ^ {2}}} \, df.}$

Линейный ответ

Хотя дисперсия Аллана предназначена для различения форм шума, она будет зависеть от некоторых, но не от всех линейных откликов на время. Они приведены в таблице:

Линейный отклик вариации Аллана

Линейный эффект	время отклика	частотный отклик	Дисперсия Аллана	Отклонение Аллана
фазовый сдвиг	${\ displaystyle x_ {0}}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0}$
смещение частоты	${\ displaystyle y_ {0} t}$	${\ displaystyle y_ {0}}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0}$
линейный дрейф	${\ displaystyle {\ frac {Dt ^ {2}} {2}}}$	${\ displaystyle Dt}$	${\ displaystyle {\ frac {D ^ {2} \ tau ^ {2}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {D \ tau} {\ sqrt {2}}}}$

Таким образом, линейный дрейф будет способствовать выходному результату. При измерении реальной системы может потребоваться оценить линейный дрейф или другой механизм дрейфа и удалить его из временного ряда до расчета дисперсии Аллана.

Свойства временного и частотного фильтра

При анализе свойств дисперсии Аллана и др. Оказалось полезным рассмотреть свойства фильтра на нормированной частоте. Начиная с определения дисперсии Аллана для

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = {\ frac {1} {2}} \ langle ({\ bar {y}} _ {i + 1} - {\ bar {y }} _ {i}) ^ {2} \ rangle,}$

куда

${\ displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ frac {1} {\ tau}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ tau} y (я \ tau + t) \, dt .}$

Заменив временной ряд на вариант с преобразованием Фурье, дисперсия Аллана может быть выражена в частотной области как ${\ displaystyle y_ {i}}$${\ Displaystyle S_ {y} (е)}$

${\ displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = \ int _ {0} ^ {\ infty} S_ {y} (f) {\ frac {2 \ sin ^ {4} \ pi \ тау f} {(\ pi \ tau f) ^ {2}}} \, df.}$

Таким образом, передаточная функция для дисперсии Аллана равна

${\ displaystyle \ left \ vert H_ {A} (f) \ right \ vert ^ {2} = {\ frac {2 \ sin ^ {4} \ pi \ tau f} {(\ pi \ tau f) ^ { 2}}}.}$

Функции смещения

М -sample дисперсия, и определяются частный случай Аллан, будут испытывать систематические смещения в зависимости от различного числа образцов М и различных отношений между Т и т . Для того , чтобы решить эти уклоны, смещения-функции B ₁ и B ₂ была определена и позволяет преобразование между различными M и T значений.

Этих функций смещения недостаточно для обработки смещения, возникающего в результате объединения M выборок со временем наблюдения Mτ _{0 в} течение MT ₀ с мертвым временем, распределенным между M блоками измерения, а не в конце измерения. Это привело к необходимости смещения B ₃ .

Функции смещения оцениваются для конкретного значения µ, поэтому отображение α – µ должно быть выполнено для доминирующей формы шума, найденной с помощью идентификации шума . В качестве альтернативы, значение µ доминирующей формы шума может быть выведено из измерений с использованием функций смещения.

B ₁ функция смещения

Функция смещения B ₁ связывает дисперсию M- выборки с дисперсией 2-х выборок (дисперсия Аллана), сохраняя время между измерениями T и время для каждого измерения τ постоянным. Он определяется как

${\ displaystyle B_ {1} (N, r, \ mu) = {\ frac {\ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (N, T, \ tau) \ right \ rangle} {\ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (2, T, \ tau) \ right \ rangle}},}$

куда

${\ displaystyle r = {\ frac {T} {\ tau}}.}$

Функция смещения становится после анализа

${\ displaystyle B_ {1} (N, r, \ mu) = {\ frac {1+ \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} {\ frac {Nn} {N (N-1)} } \ left [2 (rn) ^ {\ mu +2} - (rn + 1) ^ {\ mu +2} - | rn-1 | ^ {\ mu +2} \ right]} {1 + {\ гидроразрыв {1} {2}} \ left [2r ^ {\ mu +2} - (r + 1) ^ {\ mu +2} - | r-1 | ^ {\ mu +2} \ right]}} .}$

Функция смещения B ₂

Функция смещения B ₂ связывает двухвыборочную дисперсию для времени выборки T с двухвыборочной дисперсией (дисперсия Аллана), сохраняя количество выборок N = 2 и время наблюдения τ постоянным. Он определяется как

${\ displaystyle B_ {2} (r, \ mu) = {\ frac {\ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (2, T, \ tau) \ right \ rangle} {\ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (2, \ tau, \ tau) \ right \ rangle}},}$

куда

${\ displaystyle r = {\ frac {T} {\ tau}}.}$

Функция смещения становится после анализа

${\ displaystyle B_ {2} (r, \ mu) = {\ frac {1 + {\ frac {1} {2}} \ left [2r ^ {\ mu +2} - (r + 1) ^ {\ му +2} - | r-1 | ^ {\ mu +2} \ right]} {2 (1-2 ^ {\ mu})}}.}$

B ₃ функция смещения

Функция смещения B ₃ связывает двухвыборочную дисперсию для времени выборки MT ₀ и времени наблюдения Mτ ₀ с двухвыборочной дисперсией (дисперсия Аллана) и определяется как

${\ Displaystyle B_ {3} (N, M, r, \ mu) = {\ frac {\ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (N, M, T, \ tau) \ right \ rangle } {\ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (N, T, \ tau) \ right \ rangle}},}$

куда

${\ displaystyle T = MT_ {0},}$

${\ Displaystyle \ тау = М \ тау _ {0}.}$

Функция смещения B ₃ полезна для корректировки неперекрывающихся и перекрывающихся значений оценки переменной τ на основе измерений мертвого времени времени τ ₀ наблюдения и времени между наблюдениями T ₀ до нормальных оценок мертвого времени.

Функция смещения становится после анализа (для  случая N = 2)

${\ displaystyle B_ {3} (2, M, r, \ mu) = {\ frac {2M + MF (Mr) - \ sum _ {n = 1} ^ {M-1} (Mn) \ left [2F (nr) -F {\ big (} (M + n) r {\ big)} + F {\ big (} (Mn) r {\ big)} \ right]} {M ^ {\ mu +2} [F (r) +2]}},}$

куда

${\ Displaystyle F (A) = 2A ^ {\ mu +2} - (A + 1) ^ {\ mu +2} - | A-1 | ^ {\ mu +2}.}$

функция смещения τ

Хотя формально это не сформулировано, оно было косвенно выведено как следствие отображения α - µ . При сравнении двух показателей дисперсии Аллана для разных τ , предполагая один и тот же доминирующий шум в форме одного и того же коэффициента μ, смещение можно определить как

${\ displaystyle B _ {\ tau} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ mu) = {\ frac {\ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (2, \ tau _ {2}, \ tau _ {2}) \ right \ rangle} {\ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (2, \ tau _ {1}, \ tau _ {1}) \ right \ rangle}}.}$

Функция смещения становится после анализа

${\ displaystyle B _ {\ tau} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ mu) = \ left ({\ frac {\ tau _ {2}} {\ tau _ {1}}} \ right) ^ {\ mu}.}$

Преобразование между значениями

Для преобразования одного набора измерений в другой можно объединить функции смещения B ₁ , B ₂ и τ. Сначала функция B ₁ преобразует значение ( N ₁ ,  T ₁ ,  τ ₁ ) в (2,  T ₁ ,  τ ₁ ), из которого функция B ₂ преобразуется в значение (2,  τ ₁ ,  τ ₁ ), таким образом дисперсия Аллана при τ ₁ . Мера дисперсии Аллана может быть преобразована с помощью функции смещения τ от τ ₁ до τ ₂ , из которой затем (2,  T ₂ ,  τ ₂ ) с использованием B ₂ и, наконец, с использованием B ₁ в ( N ₂ ,  T ₂ ,  τ ₂ ) дисперсия. Полная конверсия становится

${\ displaystyle \ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (N_ {2}, T_ {2}, \ tau _ {2}) \ right \ rangle = \ left ({\ frac {\ tau _ {2}} {\ tau _ {1}}} \ right) ^ {\ mu} \ left [{\ frac {B_ {1} (N_ {2}, r_ {2}, \ mu) B_ {2} (r_ {2}, \ mu)} {B_ {1} (N_ {1}, r_ {1}, \ mu) B_ {2} (r_ {1}, \ mu)}} \ right] \ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (N_ {1}, T_ {1}, \ tau _ {1}) \ right \ rangle,}$

куда

${\ displaystyle r_ {1} = {\ frac {T_ {1}} {r_ {1}}},}$

${\ displaystyle r_ {2} = {\ frac {T_ {2}} {r_ {2}}}.}$

Точно так же для объединенных измерений с использованием M секций логическое расширение становится

${\ displaystyle \ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (N_ {2}, M_ {2}, T_ {2}, \ tau _ {2}) \ right \ rangle = \ left ({\ frac {\ tau _ {2}} {\ tau _ {1}}} \ right) ^ {\ mu} \ left [{\ frac {B_ {3} (N_ {2}, M_ {2}, r_ { 2}, \ mu) B_ {1} (N_ {2}, r_ {2}, \ mu) B_ {2} (r_ {2}, \ mu)} {B_ {3} (N_ {1}, M_ {1}, r_ {1}, \ mu) B_ {1} (N_ {1}, r_ {1}, \ mu) B_ {2} (r_ {1}, \ mu)}} \ right] \ left \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (N_ {1}, M_ {1}, T_ {1}, \ tau _ {1}) \ right \ rangle.}$

Проблемы измерения

При выполнении измерений для расчета дисперсии Аллана или отклонения Аллана ряд проблем может привести к ухудшению результатов измерений. Здесь рассматриваются эффекты, характерные для дисперсии Аллана, результаты которых могут быть смещенными.

Пределы полосы пропускания измерения

Ожидается, что измерительная система будет иметь полосу пропускания, равную или ниже скорости Найквиста , как описано в теореме Шеннона – Хартли . Как видно из формул степенного шума, модуляция белого и фликкер-шума зависит от верхней угловой частоты (предполагается, что эти системы фильтруются только нижними частотами ). Учитывая свойство частотного фильтра, ясно видно, что низкочастотный шум оказывает большее влияние на результат. Для типов шума с относительно плоской фазовой модуляцией (например, WPM и FPM) фильтрация имеет значение, тогда как для типов шума с большим наклоном верхний предел частоты становится менее важным, если предположить, что полоса пропускания системы измерения является широкой по сравнению с заданным соотношением ${\ displaystyle f_ {H}}$${\ Displaystyle \ тау}$

${\ displaystyle \ tau \ gg {\ frac {1} {2 \ pi f_ {H}}}.}$

Если это предположение не выполняется, эффективную полосу пропускания необходимо записывать вместе с измерением. Заинтересованным следует проконсультироваться по NBS TN394. ${\ displaystyle f_ {H}}$

Если, однако, отрегулировать полосу пропускания оценщика, используя целые числа, кратные времени выборки , то влияние полосы пропускания системы может быть уменьшено до незначительных уровней. Для нужд электросвязи такие методы требовались, чтобы гарантировать сопоставимость измерений и дать производителям некоторую свободу при различных реализациях. Рекомендация МСЭ-Т Rec. G.813 для измерения TDEV. ${\ Displaystyle п \ тау _ {0}}$

Можно рекомендовать игнорировать первые кратные, чтобы большая часть обнаруженного шума находилась в пределах полосы пропускания полосы пропускания измерительной системы. ${\ displaystyle \ tau _ {0}}$

Дальнейшие разработки по дисперсии Аллана были выполнены, чтобы позволить аппаратной полосе пропускания быть уменьшенной с помощью программных средств. Эта разработка программного обеспечения полосы пропускания позволила устранить остающийся шум, и теперь метод называется модифицированной дисперсией Аллана . Этот метод уменьшения полосы пропускания не следует путать с расширенным вариантом модифицированной дисперсии Аллана , который также изменяет полосу пропускания сглаживающего фильтра.

Мертвое время при измерениях

Многие приборы для измерения времени и частоты имеют стадии постановки на охрану, временной развертки, времени обработки и могут затем повторно запускать постановку на охрану. Время постановки на охрану отсчитывается от момента срабатывания постановки на охрану до момента возникновения стартового события на стартовом канале. Таким образом, временная база гарантирует, что до принятия события на канале остановки в качестве события остановки проходит минимальное количество времени. Количество событий и время, прошедшее между событием запуска и событием остановки, записываются и представляются во время обработки. Когда происходит обработка (также известная как время выдержки), прибор обычно не может выполнить другое измерение. После завершения обработки прибор в непрерывном режиме снова запускает схему плеча. Время между событием остановки и следующим событием запуска становится мертвым временем , в течение которого сигнал не наблюдается. Такое мертвое время вносит систематические ошибки измерения, которые необходимо компенсировать, чтобы получить правильные результаты. Для таких измерительных систем время T будет обозначать время между соседними стартовыми событиями (и, следовательно, измерениями), тогда как обозначать длину временной базы, то есть номинальную длину между стартовым и конечным событиями любого измерения. ${\ Displaystyle \ тау}$

Влияние мертвого времени на измерения оказывает такое влияние на получаемый результат, что было проведено много исследований поля для правильной количественной оценки его свойств. Введение счетчиков с нулевым мертвым временем устранило необходимость в этом анализе. Счетчик с нулевым мертвым временем обладает тем свойством, что событие остановки одного измерения также используется в качестве стартового события следующего события. Такие счетчики создают серию пар событий и временных меток, по одной для каждого канала, разделенных временной базой. Такие измерения также оказались полезными при упорядоченном анализе временных рядов.

Измерения, выполняемые с мертвым временем, можно скорректировать с помощью функции смещения B ₁ , B ₂ и B ₃ . Таким образом, мертвое время как таковое не запрещает доступ к дисперсии Аллана, но делает его более проблематичным. Необходимо знать мертвое время, чтобы можно было установить время между выборками T.

Длина измерения и эффективное использование образцов

Изучая влияние на доверительные интервалы, которые имеет длина N серии выборок, и влияние переменного параметра τ n, доверительные интервалы могут стать очень большими, поскольку эффективная степень свободы может стать небольшой для некоторой комбинации N и n. для доминирующей формы шума (для этого τ ).

Эффект может заключаться в том, что оценочное значение может быть намного меньше или намного больше, чем реальное значение, что может привести к ложным выводам о результате.

Рекомендуется наносить доверительный интервал вместе с данными, чтобы читатель графика мог знать о статистической неопределенности значений.

Рекомендуется, чтобы длина последовательности выборок, т. Е. Количество выборок N , оставалась высокой, чтобы гарантировать малый доверительный интервал в интересующем диапазоне τ .

Рекомендуется, чтобы τ диапазон , как прокатилась по τ ₀ умножителя п ограничена в верхнем конце относительно N , таким образом, что чтение сюжета не спутать высоко нестабильными значениями оценщик.

Рекомендуется использовать оценки, обеспечивающие лучшие значения степеней свободы, вместо оценок дисперсии Аллана или в качестве дополнения к ним, если они превосходят по эффективности оценки дисперсии Аллана. Среди них следует учитывать оценки общей дисперсии и дисперсии Тео .

Доминирующий тип шума

Большое количество констант преобразования, поправок смещения и доверительных интервалов зависит от преобладающего типа шума. Для правильной интерпретации доминирующий тип шума для конкретного интересующего τ должен быть идентифицирован посредством идентификации шума. Неспособность идентифицировать доминирующий тип шума приведет к смещению значений. Некоторые из этих смещений могут иметь величину нескольких порядков, поэтому они могут иметь большое значение.

Линейный дрейф

Систематическое воздействие на сигнал отменяется лишь частично. Сдвиг фазы и частоты отменяется, но линейный дрейф или другие формы полиномиальных фазовых кривых высокой степени не отменяются и, таким образом, образуют ограничение измерения. Можно использовать подгонку кривой и удаление систематического смещения. Часто бывает достаточно устранения линейного дрейфа. Также можно использовать оценки линейного дрейфа, такие как дисперсия Адамара . Удаление линейного дрейфа можно использовать с использованием оценки на основе момента.

Смещение оценщика измерительного прибора

Традиционные инструменты обеспечивали измерение только отдельных событий или пар событий. Внедрение усовершенствованного статистического инструмента перекрытия измерений Дж. Дж. Снайдера позволило значительно улучшить разрешение при считывании частоты, нарушив традиционный баланс цифр / временной развертки. Хотя такие методы полезны по своему прямому назначению, использование таких сглаженных измерений для вычислений дисперсии Аллана может создать ложное впечатление о высоком разрешении, но при более длительном значении τ эффект постепенно устраняется, и область измерения с более низким τ имеет смещенные значения. Это смещение дает более низкие значения, чем следовало бы, поэтому это чрезмерно оптимистичное (предполагающее, что низкие числа - это то, что нужно) смещение, уменьшающее удобство использования измерения, а не улучшающее его. Такие интеллектуальные алгоритмы обычно можно отключить или иным образом обойти с помощью режима отметки времени, который гораздо предпочтительнее, если он доступен.

Практические измерения

Хотя можно разработать несколько подходов к измерению дисперсии Аллана, простой пример может проиллюстрировать, как можно проводить измерения.

Измерение

Все измерения дисперсии Аллана будут фактически сравнением двух разных часов. Рассмотрим опорные часы и тестируемое устройство (DUT), и оба имеют общую номинальную частоту 10 МГц. Счетчик временных интервалов используется для измерения времени между нарастающим фронтом задания (канал A) и нарастающим фронтом тестируемого устройства.

Чтобы обеспечить равномерно распределенные измерения, опорные часы будут разделены, чтобы сформировать скорость измерения, запустив счетчик временных интервалов (вход ARM). Эта частота может составлять 1 Гц (с использованием выходного сигнала 1 PPS опорной частоты), но также могут использоваться другие частоты, такие как 10 Гц и 100 Гц. Скорость, с которой счетчик временных интервалов может завершить измерение, вывести результат и подготовиться к следующей руке, ограничивает частоту запуска.

Затем компьютер полезен для записи серии наблюдаемых разниц во времени.

Постобработка

Записанный временной ряд требует постобработки, чтобы развернуть свернутую фазу, чтобы обеспечить непрерывную фазовую ошибку. При необходимости также следует исправить ошибки записи и измерения. Должны быть выполнены оценка сноса и удаление сноса, механизм сноса должен быть идентифицирован и понят для источников. Ограничения по дрейфу в измерениях могут быть серьезными, поэтому необходимо дать генераторам возможность стабилизироваться после достаточно длительного включения питания.

Затем можно рассчитать дисперсию Аллана с использованием данных оценщиков, и для практических целей следует использовать оценщик с перекрытием, поскольку он лучше использует данные по сравнению с оценщиком без перекрытия. Другие оценщики, такие как оценщики общей или Тео-дисперсии, также могут быть использованы, если применяются поправки на смещение, так что они дают результаты, совместимые с дисперсией Аллана.

Для построения классических графиков отклонение Аллана (квадратный корень из дисперсии Аллана) строится в логарифмическом формате в зависимости от интервала наблюдения  τ .

Оборудование и программное обеспечение

Счетчик временных интервалов обычно представляет собой серийный счетчик, имеющийся в продаже. Ограничивающие факторы включают однократное разрешение, джиттер триггера, скорость измерений и стабильность эталонных часов. Компьютерный сбор и постобработка могут быть выполнены с использованием существующего коммерческого или общедоступного программного обеспечения. Существуют высокоразвитые решения, которые обеспечивают измерение и вычисление в одном корпусе.

История исследований

Область стабильности частоты изучается давно. Однако в 1960-х годах было обнаружено, что последовательных определений не хватало. Симпозиум NASA-IEEE по краткосрочной стабильности в ноябре 1964 г. привел к выпуску в феврале 1966 г. специального выпуска журнала IEEE Proceedings on Frequency Stability.

Симпозиум NASA-IEEE объединил множество областей и применений краткосрочной и долгосрочной стабильности с докладами многих разных участников. Статьи и групповые обсуждения сходятся во мнении о существовании частотного фликкер-шума и стремлении достичь общего определения как краткосрочной, так и долгосрочной стабильности.

Важные статьи, в том числе статьи Дэвида Аллана, Джеймса А. Барнса, Л.С. Катлера, К.Л. Сирла и Д.Б. Лисона, появились в Протоколах IEEE по стабильности частоты и помогли сформировать эту область.

В статье Дэвида Аллана анализируется классическая дисперсия частоты M- выборки, решается проблема мертвого времени между измерениями вместе с функцией начального смещения. Хотя исходная функция смещения Аллана не предполагает мертвого времени, его формулы включают вычисления мертвого времени. В его статье анализируется случай M выборок частоты (называемых в статье N) и оценок дисперсии. Он обеспечивает теперь стандартное отображение α – µ, явно основанное на работе Джеймса Барнса в том же вопросе.

Случай двухвыборочной дисперсии - это частный случай дисперсии M- выборки, которая дает среднее значение производной частоты. Аллан неявно использует двухвыборочную дисперсию в качестве базового случая, поскольку для произвольно выбранного M значения могут быть перенесены через двухвыборочную дисперсию в M -выборочную дисперсию. Не было четко заявлено о предпочтении двухвыборочной дисперсии, даже если бы инструменты были предоставлены. Однако эта статья заложила основу для использования двухвыборочной дисперсии как способа сравнения других M- выборочных дисперсий.

Джеймс Барнс значительно расширил работу над функциями смещения, введя современные функции смещения B ₁ и B ₂ . Достаточно любопытно, что это относится к дисперсии M -выборки как «дисперсия Аллана», в то же время ссылаясь на статью Аллана «Статистика атомных стандартов частоты». С помощью этих современных функций смещения можно выполнить полное преобразование между мерами дисперсии M- выборки различных значений M , T и τ путем преобразования дисперсии 2-выборки.

Джеймс Барнс и Дэвид Аллан дополнительно расширили функции смещения с помощью функции B ₃ для обработки смещения оценщика конкатенированных выборок. Это было необходимо, чтобы справиться с новым использованием объединенных наблюдений выборки с мертвым временем между ними.

В 1970 году Технический комитет IEEE по частоте и времени в составе группы IEEE по приборам и измерениям представил краткое изложение этой области, опубликованное как Техническое уведомление NBS 394. Этот документ был первым из ряда более образовательных и практических документов, помогающих товарищам инженеры схватывают поле. В этой статье рекомендуется двухвыборочная дисперсия с T = τ , называемая дисперсией Аллана (теперь без кавычек). Выбор такой параметризации позволяет хорошо обрабатывать некоторые формы шума и получать сопоставимые измерения; это, по сути, наименьший общий знаменатель с помощью функций смещения B ₁ и B ₂ .

Дж. Дж. Снайдер предложил улучшенный метод оценки частоты или дисперсии с использованием выборочной статистики для частотомеров. Чтобы получить более эффективные степени свободы из доступного набора данных, хитрость заключается в использовании перекрывающихся периодов наблюдения. Это обеспечивает улучшение √ n и было включено в перекрывающуюся оценку дисперсии Аллана . Также была включена программная обработка переменных τ. Эта разработка улучшила классические оценки дисперсии Аллана, что также послужило прямым источником вдохновения для работы над модифицированной дисперсией Аллана .

Хоу, Аллан и Барнс представили анализ доверительных интервалов, степеней свободы и установленных оценок.

Образовательные и практические ресурсы

Поле времени и частоты и его использование вариации Аллана, девиации Аллана и друзей - это область, включающая множество аспектов, для которых как понимание концепций, так и практические измерения и постобработка требуют внимательности и понимания. Таким образом, существует область учебных материалов, охватывающая около 40 лет. Поскольку они отражают развитие исследований своего времени, они сосредоточены на обучении различным аспектам с течением времени, и в этом случае исследование доступных ресурсов может быть подходящим способом поиска нужного ресурса.

Первым значимым резюме является Техническая нота NBS 394 «Характеристики стабильности частоты». Это продукт Технического комитета по частоте и времени группы IEEE по контрольно-измерительным приборам и измерениям. Он дает первый обзор области, формулируя проблемы, определяя основные вспомогательные определения и углубляясь в дисперсию Аллана, функции смещения B ₁ и B ₂ , преобразование измерений во временной области. Это полезно, так как это одна из первых ссылок для табулирования дисперсии Аллана для пяти основных типов шума.

Классическим справочником является Монография 140 NBS 1974 г., в главе 8 которой содержится «Статистика анализа временных и частотных данных». Это расширенный вариант NBS Technical Note 394, который существенно добавляет в методы измерения и практическую обработку значений.

Важным дополнением станут Свойства источников сигналов и методов измерения . Он охватывает эффективное использование данных, доверительные интервалы, эффективную степень свободы, а также вводит перекрывающуюся оценку дисперсии Аллана. Это настоятельно рекомендуется к прочтению по этим темам.

Стандарт IEEE 1139 « Стандартные определения физических величин для фундаментальной метрологии частоты и времени» выходит за рамки стандарта и представляет собой исчерпывающий справочный и образовательный ресурс.

Современная книга, посвященная телекоммуникациям, - это Стефано Брегни «Синхронизация цифровых телекоммуникационных сетей». Это резюмирует не только область, но и большую часть его исследований в этой области до того момента. Он призван включать как классические меры, так и меры, специфичные для электросвязи, такие как MTIE. Это удобный помощник при проведении измерений, связанных со стандартами электросвязи.

Специальная публикация NIST 1065 «Справочник по анализу частотной стабильности» WJ Riley рекомендуется к прочтению всем, кто хочет работать в этой области. Он богат ссылками, а также охватывает широкий спектр показателей, предубеждений и связанных функций, которые должны быть доступны современному аналитику. Далее он описывает общую обработку, необходимую для современного инструмента.

Использует

Дисперсия Аллана используется в качестве меры стабильности частоты в различных прецизионных генераторах, таких как кварцевые генераторы , атомные часы и лазеры со стабилизированной частотой в течение секунды или более. Кратковременная стабильность (менее секунды) обычно выражается как фазовый шум . Дисперсии Аллана также используются для характеристики стабильности смещения гироскопов , в том числе волоконно - оптических гироскопов , полусферический резонаторы гироскопов и MEMS гироскопов и акселерометров.

50 лет

В 2016 году IEEE-UFFC собирается опубликовать «Специальный выпуск, посвященный 50-летию Allan Variance (1966–2016)». Приглашенным редактором этого выпуска будет бывший коллега Дэвида по NIST , Джуда Левин, последний лауреат II премии Раби .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

• Учебные ресурсы UFFC по контролю частоты
• Инструмент поиска публикаций NIST
• Обзор дисперсии Аллана Дэвида В. Аллана
• Официальный веб-сайт Дэвида В. Аллана
• Публикации JPL - Анализ и статистика шума
• Публикации Уильяма Райли
• Stable32 , Программное обеспечение для анализа стабильности частоты, Уильям Райли
• Публикации Стефано Брегни
• Публикации Энрико Рубиолы
• Allanvar: пакет R для определения характеристик ошибок датчика с использованием дисперсии Аллана
• Программное обеспечение Alavar для Windows с инструментами отчетности; Бесплатное ПО
• Библиотека Python с открытым исходным кодом AllanTools для вариации Аллана
• MATLAB AVAR приложение MATLAB с открытым исходным кодом