Проблема Альхазена - Alhazen's problem
Проблема Альгацена в , также известный как проблема бильярдного Альхазен в , это математическая задача в геометрической оптики впервые сформулирована Птолемеем в 150 году нашей эры. Он назван в честь арабского математика 11 века Альхазена ( Ибн аль-Хайсама ), который представил геометрическое решение в своей « Книге оптики» . Алгебраическое решение включает уравнения четвертой степени и было найдено в 1965 году Джеком М. Элкиным.
Геометрическая формулировка
Задача состоит в том, чтобы провести линии из двух точек, которые встречаются в третьей точке на окружности круга и образуют равные углы с нормалью в этой точке ( зеркальное отражение ). Таким образом, его основное применение в оптике - решение задачи: «Найти точку на сферическом выпуклом зеркале, в которую должен попасть луч света, исходящий из данной точки, чтобы отразиться в другую точку». Это приводит к уравнению четвертой степени . (Сам Альхазен никогда не использовал эту алгебраическую переписывание задачи)
Решение Альхазена
Ибн аль-Хайтам решил проблему, используя конические сечения и геометрическое доказательство.
Алгебраическое решение
Более поздние математики, такие как Христиан Гюйгенс , Джеймс Грегори , Гийом де л'Опиталь , Исаак Барроу и многие другие, пытались найти алгебраическое решение проблемы, используя различные методы, включая аналитические методы геометрии и вывод по комплексным числам .
Впервые алгебраическое решение проблемы было найдено в 1965 году Джеком М. Элкиным (актуарием) с помощью полинома четвертой степени . Другие решения были заново открыты позже: в 1989 году Харальдом Ридом; в 1990 г. (представлены в 1988 г.) Миллером и Вегом; а в 1992 г. - Джон Д. Смит, а также Йорг Вальдфогель.
В 1997 году оксфордский математик Питер М. Нойман доказал, что для общего решения проблемы Альхазена не существует линейки и компаса (хотя в 1965 году Элкин уже предоставил контрпример к евклидовой конструкции).
Обобщение
Недавно исследователи Mitsubishi Electric Research Labs решили распространить проблему Альхазена на общие вращательно-симметричные квадратные зеркала, включая гиперболические, параболические и эллиптические зеркала. Они показали, что точку зеркального отражения можно вычислить, решив уравнение восьмой степени в самом общем случае. Если камеру (глаз) поместить на оси зеркала, степень уравнения уменьшится до шести. Проблема Альхазена также может быть распространена на множественные преломления от сферического шара. Учитывая источник света и сферический шар с определенным показателем преломления, ближайшую точку на сферическом шаре, где свет преломляется к глазу наблюдателя, можно получить, решив уравнение десятой степени.