Алгебраическая функция - Algebraic function

В математике , алгебраическая функция является функцией , которая может быть определена как корень из более полиномиального уравнения . Довольно часто алгебраические функции представляют собой алгебраические выражения с использованием конечного числа членов, включающие только алгебраические операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в дробную степень. Примеры таких функций:

Однако некоторые алгебраические функции не могут быть выражены такими конечными выражениями (это теорема Абеля – Руффини ). Так обстоит дело, например, с радикалом Бринга , который является функцией, неявно определяемой формулой

.

Точнее говоря, алгебраическая функция степени n от одной переменной x - это функция , непрерывная в своей области определения и удовлетворяющая полиномиальному уравнению

где коэффициенты a i ( x ) являются полиномиальными функциями от x с целыми коэффициентами. Можно показать, что тот же класс функций получается, если принимать алгебраические числа в качестве коэффициентов при a i ( x ) . Если в коэффициентах встречаются трансцендентные числа, функция, вообще говоря, не алгебраическая, а алгебраическая над полем, порожденным этими коэффициентами.

Значение алгебраической функции в рациональном числе и, в более общем смысле, в алгебраическом числе всегда является алгебраическим числом. Иногда рассматриваются коэффициенты , полиномиальные над кольцом R , а затем говорят о «функциях, алгебраических над R ».

Функция, которая не является алгебраической, называется трансцендентной функцией , как, например, в случае . Композиция трансцендентных функций может дать алгебраическую функцию: .

Поскольку полиномиальное уравнение степени n имеет до n корней (и ровно n корней над алгебраически замкнутым полем , таким как комплексные числа ), полиномиальное уравнение неявно определяет одну функцию, но до n функций, иногда также называемых ветки . Рассмотрим, например, уравнение единичной окружности : Это определяет у , за исключением только до общего знака; соответственно, у него есть две ветви:

Алгебраическая функция в т переменных аналогично определяется как функция , которая решает полиномиальное уравнение т  + 1 переменных:

Обычно предполагается, что p должен быть неприводимым многочленом . Тогда существование алгебраической функции гарантируется теоремой о неявной функции .

Формально алгебраическая функция от m переменных над полем K является элементом алгебраического замыкания поля рациональных функций K ( x 1 , ...,  x m ).

Алгебраические функции от одной переменной

Введение и обзор

Неформальное определение алгебраической функции дает ряд подсказок об их свойствах. Чтобы получить интуитивное понимание, может быть полезно рассматривать алгебраические функции как функции, которые могут быть образованы обычными алгебраическими операциями : сложением , умножением , делением и извлечением корня n- й степени . Это что-то вроде чрезмерного упрощения; в силу основной теоремы теории Галуа алгебраические функции не обязательно выражаются радикалами.

Во-первых, обратите внимание, что любая полиномиальная функция является алгебраической функцией, поскольку это просто решение y уравнения

В более общем смысле, любая рациональная функция является алгебраической, являясь решением

Более того, корень n- й степени любого многочлена является алгебраической функцией, решающей уравнение

Удивительно, но функция, обратная алгебраической функции, является алгебраической функцией. Для предположения, что y является решением

для каждого значения x , тогда x также является решением этого уравнения для каждого значения y . Действительно, поменяв местами x и y и собрав термины,

Запись x как функции от y дает обратную функцию, также являющуюся алгебраической функцией.

Однако не у каждой функции есть обратная. Например, y  =  x 2 не проходит тест горизонтальной линии : он не может быть взаимно однозначным . Обратное - алгебраическая «функция» . Другой способ понять это состоит в том, что набор ветвей полиномиального уравнения, определяющего нашу алгебраическую функцию, является графиком алгебраической кривой .

Роль комплексных чисел

С алгебраической точки зрения комплексные числа вполне естественно входят в изучение алгебраических функций. Во-первых, по основной теореме алгебры комплексные числа представляют собой алгебраически замкнутое поле . Следовательно, любое полиномиальное отношение p ( y ,  x ) = 0 гарантированно будет иметь по крайней мере одно решение (и, как правило, количество решений, не превышающих степень p по y ) для y в каждой точке x , при условии, что мы позволим y принять сложные, а также реальные ценности. Таким образом, можно безопасно минимизировать проблемы, связанные с областью определения алгебраической функции.

График трех ветвей алгебраической функции y , где y 3  -  xy  + 1 = 0, в области 3/2 2/3 < x <50.

Более того, даже если кто-то в конечном итоге заинтересован в реальных алгебраических функциях, может не быть способов выразить функцию в терминах сложения, умножения, деления и извлечения корней n-й степени, не прибегая к комплексным числам (см. Casus unducibilis ). Например, рассмотрим алгебраическую функцию, определяемую уравнением

Используя кубическую формулу , получаем

Поскольку квадратный корень является действительным, и, таким образом, кубический корень хорошо определен, обеспечивая единственный действительный корень. С другой стороны, квадратный корень не является действительным, и для квадратного корня нужно выбрать либо не действительный квадратный корень. Таким образом, кубический корень должен быть выбран среди трех не действительных чисел. Если в двух членах формулы сделан одинаковый выбор, то три варианта для кубического корня дают три ветви, показанные на сопроводительном изображении.

Можно доказать, что нет способа выразить эту функцию в терминах корней n-й степени, используя только действительные числа, даже несмотря на то, что результирующая функция является действительной в области определения графа.

На более значительном теоретическом уровне использование комплексных чисел позволяет использовать мощные методы комплексного анализа для обсуждения алгебраических функций. В частности, принцип аргумента может использоваться, чтобы показать, что любая алгебраическая функция на самом деле является аналитической функцией , по крайней мере, в многозначном смысле.

Формально, пусть p ( x ,  y ) - комплексный многочлен от комплексных переменных x и y . Предположим, что x 0  ∈  C таков, что многочлен p ( x 0 ,  y ) от y имеет n различных нулей. Покажем , что алгебраическая функция является аналитической в окрестности от х 0 . Выберите систему из n неперекрывающихся дисков Δ i, содержащих каждый из этих нулей. Тогда по принципу аргумента

По непрерывности это также верно для всех x в окрестности x 0 . В частности, p ( x ,  y ) имеет только один корень в Δ i , задаваемый теоремой о вычетах :

которая является аналитической функцией.

Монодромия

Обратите внимание , что приведенное выше доказательство аналитичности получено выражение для системы п различных элементов функции F I ( х ), при условии , что х не является критической точкой из р ( х ,  у ). Критическая точка является точкой , где число различных нулей меньше , чем степень р , и это происходит только тогда, когда самый высокая степень члена р обращается в нуль, а где дискриминантный обращается в нуле. Следовательно, таких точек c 1 , ...,  c m конечное число .

Тщательный анализ свойств функциональных элементов F I вблизи критических точек может быть использован , чтобы показать , что Монодромия крышка имеет разветвленное над критическими точками (и , возможно, точка на бесконечности ). Таким образом, голоморфное расширение f i имеет в худшем случае алгебраические полюсы и обычные алгебраические ветвления над критическими точками.

Обратите внимание, что вне критических точек мы имеем

поскольку f i по определению являются различными нулями p . Группа монодромии действует перестановкой сомножителей, и таким образом формирует монодромию представление о группе Галуа из р . (Действие монодромии на универсальном накрывающем является родственным, но другим понятием в теории римановых поверхностей.)

История

Идеи, связанные с алгебраическими функциями, восходят, по крайней мере, к Рене Декарту . Первое обсуждение алгебраических функций, по-видимому, было в « Очерке принципов человеческого знания» Эдварда Уоринга 1794 года, в котором он пишет:

Пусть величина, обозначающая ординату, будет алгебраической функцией абсциссы x , обычными методами деления и извлечения корней сведем ее в бесконечный ряд по возрастанию или убыванию в соответствии с размерностями x , а затем найдем интеграл каждого итоговых условий.

Смотрите также

использованная литература

  • Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ . Макгроу Хилл.
  • ван дер Варден, Б.Л. (1931). Современная алгебра, Том II . Springer.

внешние ссылки