Аффинная дифференциальная геометрия - Affine differential geometry
Аффинная дифференциальная геометрия - это тип дифференциальной геометрии, в которой дифференциальные инварианты инвариантны относительно аффинных преобразований, сохраняющих объем . Название дифференциальной геометрии аффинная следует из Klein «ы программы Erlangen . Основное различие между аффинной и римановой дифференциальной геометрией состоит в том, что в аффинном случае мы вводим формы объема над многообразием вместо метрики .
Предварительные мероприятия
Здесь мы рассмотрим простейший случай, т.е. многообразия в коразмерности один. Пусть M ⊂ R n +1 - n -мерное многообразие, и пусть ξ - векторное поле на R n +1, трансверсальное к M такое, что T p R n +1 = T p M ⊕ Span (ξ) для всех p ∈ M , где ⊕ обозначает прямую сумму, а Span - линейную оболочку .
Для гладкого многообразия, скажем N , пусть Ψ ( N ) обозначим модуль гладких векторных полей над N . Пусть D : W ( R п + 1 ) × Ψ ( R п + 1 ) → Ч ( Р п + 1 ) быть стандартным ковариантной производной от R п + 1 , где D ( X , Y ) = D X Y . Мы можем разложить D X Y на составляющую, касательную к M, и поперечную составляющую, параллельную ξ. Это дает уравнение Гаусса : D X Y = ∇ X Y + h ( X , Y ) ξ, где ∇: Ψ ( M ) × Ψ ( M ) → Ψ ( M ) - индуцированная связность на M и h : Ψ ( M ) × Ψ ( M ) → R - билинейная форма . Обратите внимание, что ∇ и h зависят от выбора поперечного векторного поля ξ. Мы рассматриваем только те гиперповерхности , для которых ч является невырожденной . Это свойство гиперповерхности M не зависит от выбора поперечного векторного поля ξ. Если h невырожден, мы говорим, что M невырожден. В случае кривых на плоскости невырожденные кривые - это кривые без перегибов . В случае поверхностей в трехмерном пространстве невырожденные поверхности - это поверхности без параболических точек .
Можно также рассмотреть вопрос о производной от £ в некотором направлении касательной, скажем , X . Эта величина, D X ξ, может быть разложена на составляющую, касательную к M, и поперечную составляющую, параллельную ξ. Это дает уравнение Вейнгартена : D X ξ = - SX + τ ( X ) ξ. Тензор типа (1,1) S : Ψ ( M ) → Ψ ( M ) называется оператором аффинной формы, дифференциальная одноформа τ: Ψ ( M ) → R называется формой поперечной связности. Опять же, как S, так и τ зависят от выбора поперечного векторного поля ξ.
Первая форма индуцированного объема
Пусть Ω: Ψ ( R n +1 ) n +1 → R - форма объема, определенная на R n +1 . Мы можем индуцировать форму объема на M, задаваемую ω: Ψ ( M ) n → R, задаваемую ω ( X 1 , ..., X n ): = Ω ( X 1 , ..., X n , ξ). Это естественное определение: в евклидовой дифференциальной геометрии, где ξ - евклидова единичная нормаль, стандартный евклидов объем, натянутый на X 1 , ..., X n , всегда равен ω ( X 1 , ..., X n ). Обратите внимание, что ω зависит от выбора поперечного векторного поля ξ.
Вторая форма индуцированного объема
Для касательных векторов X 1 , ..., X n пусть H : = ( h i, j ) - матрица размера n × n, заданная как h i, j : = h ( X i , X j ). Определим вторую форму объема на M, задаваемую формулой ν: Ψ ( M ) n → R , где ν ( X 1 , ..., X n ): = | det (H) | 1 ⁄ 2 . Опять же, это естественное определение. Если M = R n и h - евклидово скалярное произведение, то ν ( X 1 , ..., X n ) всегда является стандартным евклидовым объемом, натянутым на векторы X 1 , ..., X n . Поскольку h зависит от выбора поперечного векторного поля ξ, отсюда следует, что ν тоже.
Два природных условия
Мы ставим два естественных условия. Во-первых, индуцированная связность ∇ и индуцированная форма объема ω согласованы, т. Е. Ω ≡ 0. Это означает, что ∇ X ω = 0 для всех X ∈ Ψ ( M ). Другими словами, если мы параллельно переносим векторы X 1 , ..., X n вдоль некоторой кривой в M относительно связности ∇, то объем, натянутый на X 1 , ..., X n , относительно форма объема ω не меняется. Прямое вычисление показывает, что ∇ X ω = τ ( X ) ω и, значит, ∇ X ω = 0 для всех X ∈ Ψ ( M ) тогда и только тогда, когда τ ≡ 0, т. Е. D X ξ ∈ Ψ ( M ) для всех X ∈ Ψ ( M ). Это означает , что производная от |, в направлении касательной X , по отношению к D всегда дает нуль, возможно, касательный вектор к М . Второе условие состоит в том, что две формы объема ω и ν совпадают, т. Е. Ω ≡ ν.
Вывод
Можно показать, что существует, с точностью до знака, единственный выбор поперечного векторного поля ξ, для которого выполняются два условия ∇ω and 0 и ω ≡ ν . Эти два специальных поперечных векторных поля называются аффинными векторными полями нормалей или иногда называются полями нормалей Бляшке . Из его зависимости от формы объема для его определения мы видим, что аффинное нормальное векторное поле инвариантно относительно аффинных преобразований, сохраняющих объем . Эти преобразования задаются SL ( п + 1, R ) ⋉ R п + 1 , где SL ( п + 1, R ) обозначает специальную линейную группу из ( п + 1) × ( п + 1) матрицы с действительными элементами и определитель 1, а ⋉ обозначает полупрямое произведение . SL ( n +1, R ) ⋉ R n +1 образует группу Ли .
Аффинная нормальная линия
Аффинная нормаль в точке р ∈ М является линия , проходящая через р и параллельно к |.
Плоские кривые
Аффинное векторное поле нормали для кривой на плоскости имеет красивую геометрическую интерпретацию. Пусть I ⊂ R - открытый интервал, а γ: I → R 2 - гладкая параметризация плоской кривой. Мы предполагаем, что γ ( I ) - невырожденная кривая (в смысле Номидзу и Сасаки), т.е. не имеет точек перегиба . Рассмотрим точку p = γ ( t 0 ) на плоской кривой. Поскольку γ ( I ) не имеет точек перегиба, то γ ( t 0 ) не является точкой перегиба, и поэтому кривая будет локально выпуклой, т. Е. Все точки γ ( t ) с t 0 - ε < t < t 0 + ε для достаточно малого ε будет лежать по ту же сторону касательной к γ ( I ) в точке γ ( t 0 ).
Рассмотрим касательную к γ ( I ) в точке γ ( t 0 ) и рассмотрим почти параллельные прямые на стороне касательной, содержащей участок кривой P : = {γ (t) ∈ R 2 : t 0 - ε < t < t 0 + ε}. Для параллельных прямых, достаточно близких к касательной, они будут пересекать P ровно в двух точках. На каждой параллельной линии , мы отмечаем середину этого отрезка , соединяющего эти две точки пересечения. Для каждой параллельной прямой мы получаем среднюю точку, и таким образом геометрическое место срединных точек очерчивает кривую, начинающуюся в точке p . Предельная касательная к геометрическому пространству средних точек при приближении к p является в точности аффинной нормальной линией, то есть линией, содержащей вектор аффинной нормали к γ ( I ) в точке γ ( t 0 ). Обратите внимание, что это аффинная инвариантная конструкция, поскольку параллелизм и середины инвариантны относительно аффинных преобразований.
Рассмотрим параболу, задаваемую параметризацией γ ( t ) = ( t + 2 t 2 , t 2 ) . Это имеет уравнение x 2 + 4 y 2 - 4 xy - y = 0. Касательная линия в точке γ (0) имеет уравнение y = 0, поэтому параллельные прямые задаются формулой y = k для достаточно малого k ≥ 0. Прямая y = k пересекает кривую в точке x = 2 k ± √ k . Географическое место середин определяется как {(2 k , k ): k ≥ 0}. Они образуют отрезок прямой, и поэтому ограничивающая касательная линия к этому отрезку, когда мы стремимся к γ (0), - это как раз линия, содержащая этот отрезок, то есть прямая x = 2 y . В этом случае аффинная нормальная линия к кривой в точке γ (0) имеет уравнение x = 2 y . Фактически, прямое вычисление показывает, что вектор аффинной нормали в точке γ (0), а именно ξ (0), задается формулой ξ (0) = 2 1 ⁄ 3 · (2,1). На рисунке красная кривая - это кривая γ, черные линии - это касательная линия и некоторые соседние касательные линии, черные точки - это середины отображаемых линий, а синяя линия - геометрическое место средних точек.
Поверхности в 3-м пространстве
Аналогичный аналог существует для нахождения аффинной нормальной линии в эллиптических точках гладких поверхностей в трехмерном пространстве. На этот раз берутся плоскости, параллельные касательной. Для плоскостей, достаточно близких к касательной, они пересекаются с поверхностью, образуя выпуклые плоские кривые. Каждая выпуклая плоская кривая имеет центр масс . Геометрическое место центров масс очерчивают кривую в 3-м пространстве. Предельная касательная к этому геометрическому множеству при приближении к исходной точке поверхности является аффинной нормальной линией, то есть линией, содержащей вектор аффинной нормали.