Экшен (физика) - Action (physics)

В физике , действие представляет собой числовое значение , описывающее , как физическая система была изменена с течением времени . Действие важно, потому что уравнения движения системы могут быть выведены с помощью принципа стационарного действия . В простом случае одиночной частицы, движущейся с заданной скоростью, действие - это импульс частицы, умноженный на расстояние, на которое она движется, сложенный по ее пути, или, что эквивалентно, удвоенная кинетическая энергия, умноженная на отрезок времени, в течение которого она имеет это количество энергии, накопленное за рассматриваемый период времени. Для более сложных систем все такие количества складываются. Более формально действие - это математический функционал, который принимает траекторию , также называемую путем или историей , системы в качестве аргумента и имеет действительное число в качестве своего результата. Обычно действие принимает разные значения для разных путей. Действие имеет размеры от энергии  ×  времени или импульс  ×  длиной , и его единица СИ является джоуль -Второй (как постоянная Планка ч ).

Вступление

Принцип Гамильтона гласит, что дифференциальные уравнения движения для любой физической системы можно переформулировать как эквивалентное интегральное уравнение . Таким образом, существует два различных подхода к построению динамических моделей.

Это применимо не только к классической механике отдельной частицы, но и к классическим полям, таким как электромагнитное и гравитационное поля . Принцип Гамильтона также был распространен на квантовую механику и квантовую теорию поля - в частности, в формулировке квантовой механики с использованием интеграла по путям используется концепция, - где физическая система случайным образом следует по одному из возможных путей с фазой амплитуды вероятности для каждого путь определяется действием для пути.

Решение дифференциального уравнения

Эмпирические законы часто выражаются в виде дифференциальных уравнений , которые описывают, как физические величины, такие как положение и импульс, непрерывно меняются со временем , пространством или их обобщением. Учитывая начальные и граничные условия для ситуации, «решением» этих эмпирических уравнений является одна или несколько функций, которые описывают поведение системы и называются уравнениями движения .

Минимизация интеграла действия

Действие - это часть альтернативного подхода к нахождению таких уравнений движения. Классическая механика постулирует, что путь, по которому фактически следует физическая система, - это путь, для которого действие минимизировано или, в более общем смысле, является стационарным . Другими словами, действие удовлетворяет вариационному принципу: принципу стационарного действия (см. Также ниже). Действие определяется интегралом , и классические уравнения движения системы могут быть получены путем минимизации значения этого интеграла.

Этот простой принцип обеспечивает глубокое понимание физики и является важным понятием в современной теоретической физике .

История

Во время разработки концепции действие было определено несколькими устаревшими способами.

• Готфрид Лейбниц , Иоганн Бернулли и Пьер Луи Мопертюи определили действие света как интеграл его скорости или обратную скорость по длине его пути.
• Леонард Эйлер (и, возможно, Лейбниц) определяли действие материальной частицы как интеграл скорости частицы на ее пути в пространстве.
• Пьер Луи Мопертюи ввел несколько специальных и противоречивых определений действия в рамках одной статьи , определяя действие как потенциальную энергию, как виртуальную кинетическую энергию и как гибрид, обеспечивающий сохранение импульса при столкновениях.

Математическое определение

Выражаясь математическим языком, с использованием вариационного исчисления , эволюция физической системы (то есть, как система фактически переходит из одного состояния в другое) соответствует стационарной точке (обычно минимуму) действия.

В физике широко используются несколько различных определений «действия». Действие обычно представляет собой единое целое во времени. Однако, когда действие относится к полям , оно также может быть интегрировано по пространственным переменным. В некоторых случаях действие интегрируется по пути, по которому идет физическая система.

Действие обычно представляется как интеграл по времени, взятый на пути системы между начальным временем и конечным временем развития системы:

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \, dt,}$

где подынтегральное выражение L называется лагранжианом . Чтобы интеграл действия был четко определен, траектория должна быть ограничена во времени и пространстве.

Действие имеет размеры от [энергии]  ×  [время] , и его единица СИ является джоуль -Вторы, который идентичен единице углового момента .

Действие в классической физике

В классической физике термин «действие» имеет несколько значений.

Действие (функционал)

Чаще всего этот термин используется для функционала, который принимает на вход функцию времени и (для полей ) пространства и возвращает скаляр . В классической механике входная функция - это эволюция q ( t ) системы между двумя временами t ₁ и t ₂ , где q представляет собой обобщенные координаты . Действие определяется как интеграл от лагранжиана L для эволюции между входным два раза: ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q} (т)]}$

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q} (t)] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q} (t), {\ точка {\ mathbf {q}}} (t), t) \, dt,}$

где конечные точки эволюции фиксированы и определены как и . В соответствии с принципом Гамильтона , истинная эволюция д _{истинно} ( т ) представляет собой эволюцию , для которых действие является стационарным (минимум, максимум, или точка перевала ). Этот принцип приводит к уравнениям движения в лагранжевой механике . ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {1} = \ mathbf {q} (т_ {1})}$${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {2} = \ mathbf {q} (т_ {2})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q} (т)]}$

Сокращенное действие (функциональное)

Обычно обозначается как , это тоже функционал . Здесь входная функция - это путь, пройденный физической системой без учета ее параметризации по времени. Например, траектория планетарной орбиты представляет собой эллипс, а путь частицы в однородном гравитационном поле - параболу; в обоих случаях путь не зависит от того, как быстро частица проходит путь. Сокращенное действие определяется как интеграл обобщенных импульсов вдоль пути в обобщенных координатах : ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0} = \ int \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q} = \ int p_ {i} \, dq_ {i}.}$

Согласно принципу Мопертюи , истинный путь - это путь, для которого сокращенное действие является стационарным . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$

Основная функция Гамильтона

Основная функция Гамильтона получается из функционала действия путем фиксации начального времени и начальной конечной точки , позволяя при этом изменять верхний предел времени и вторую конечную точку . Основная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона – Якоби, формулировке классической механики . Из-за сходства с уравнением Шредингера уравнение Гамильтона – Якоби, возможно, обеспечивает самую прямую связь с квантовой механикой . ${\ Displaystyle S = S (q, t; q_ {0}, t_ {0})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle q_ {0},}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle q}$

Характеристическая функция Гамильтона

Когда полная энергия Е сохраняется, уравнение Гамильтона-Якоби может быть решена с аддитивным разделением переменных :

${\ Displaystyle S (q_ {1}, \ dots, q_ {N}, t) = W (q_ {1}, \ dots, q_ {N}) - E \ cdot t,}$

где не зависящая от времени функция W ( q ₁ , q ₂ ,… q _N ) называется характеристической функцией Гамильтона . Физический смысл этой функции можно понять, взяв ее полную производную по времени

${\ displaystyle {\ frac {dW} {dt}} = {\ frac {\ partial W} {\ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} = p_ {i} {\ dot {q}} _ {i}.}$

Это может быть интегрировано, чтобы дать

${\ displaystyle W (q_ {1}, \ dots, q_ {N}) = \ int p_ {i} {\ dot {q}} _ {i} \, dt = \ int p_ {i} \, dq_ { я},}$

что является сокращенным действием .

Другие решения уравнений Гамильтона – Якоби.

Уравнения Гамильтона – Якоби часто решаются методом аддитивной отделимости; в некоторых случаях отдельные члены решения, например S _k ( q _k ), также называют «действием».

Действие обобщенной координаты

Это единственная переменная J _k в координатах действие-угол , определяемая интегрированием единственного обобщенного импульса вокруг замкнутого пути в фазовом пространстве , соответствующего вращающемуся или колебательному движению:

${\ Displaystyle J_ {k} = \ oint p_ {k} \, dq_ {k}}$

Переменная J _k называется «действием» обобщенной координаты q _k ; соответствующая каноническая переменная, сопряженная с J _k, является его "углом" w _k по причинам, более подробно описанным в координатах действие-угол . Интегрирование осуществляется только по одной переменной q _k и, следовательно, в отличие от интегрированного скалярного произведения в сокращенном интеграле действий выше. J _к переменной равно изменению S _к ( д _к ) , как д _к изменяется по замкнутому пути. Для некоторых представляющих интерес физических систем J _k либо постоянна, либо изменяется очень медленно; следовательно, переменная J _k часто используется при расчетах возмущений и при определении адиабатических инвариантов .

Действие для гамильтонова потока

См. Тавтологическую единичную форму .

Уравнения Эйлера – Лагранжа.

В лагранжевой механике требование, чтобы интеграл действия был стационарным при малых возмущениях, эквивалентен набору дифференциальных уравнений (называемых уравнениями Эйлера – Лагранжа), которые могут быть получены с использованием вариационного исчисления .

Принцип действия

Классические поля

Принцип действия может быть расширен для получения уравнений движения для полей, таких как электромагнитное поле или гравитационное поле .

Уравнение Эйнштейна использует действие Эйнштейна – Гильберта, ограниченное вариационным принципом .

Траектория (путь в пространстве - времени ) тела в гравитационном поле можно найти , используя принцип действия. Для свободно падающего тела эта траектория является геодезической .

Законы сохранения

Последствия симметрии в физической ситуации можно найти с помощью принципа действия вместе с уравнениями Эйлера – Лагранжа , которые выводятся из принципа действия. Примером может служить теорема Нётер , которая утверждает, что каждой непрерывной симметрии в физической ситуации соответствует закон сохранения (и наоборот). Эта глубокая связь требует принятия принципа действия.

Квантовая механика и квантовая теория поля

В квантовой механике система не следует единственному пути, действие которого является стационарным, но поведение системы зависит от всех разрешенных путей и значения их действия. Действие, соответствующее различным путям, используется для вычисления интеграла по путям , который дает амплитуды вероятностей различных исходов.

Хотя принцип действия эквивалентен в классической механике законам Ньютона , он лучше подходит для обобщений и играет важную роль в современной физике. Действительно, этот принцип - одно из величайших обобщений в физической науке. Это лучше всего понято в квантовой механике, в частности , Ричард Фейнман «s пути интегральной формулировке , где она возникает из деструктивной интерференции квантовых амплитуд.

Уравнения Максвелла также могут быть выведены как условия стационарного действия .

Одиночная релятивистская частица

Когда релятивистские эффекты значительны, действие точечной частицы массы m, перемещающейся по мировой линии C, параметризованной собственным временем, равно ${\ Displaystyle \ тау}$

${\ Displaystyle S = -mc ^ {2} \ int _ {C} \, d \ tau.}$

Если вместо этого частица параметризуется координатным временем t частицы, а координатное время изменяется от t ₁ до t ₂ , то действие становится

${\ Displaystyle S = \ int _ {t1} ^ {t2} L \, dt,}$

где лагранжиан является

${\ displaystyle L = -mc ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}.}$

Современные расширения

Принцип действия можно обобщить и дальше. Например, действие не обязательно должно быть целым, потому что возможны нелокальные действия . Конфигурационное пространство даже не обязательно должно быть функциональным , учитывая определенные особенности, такие как некоммутативная геометрия . Однако физическую основу этих математических расширений еще предстоит установить экспериментально.

Смотрите также

использованная литература

Источники и дальнейшее чтение

Для аннотированной библиографии см Edwin F. Taylor кто списки , среди прочего, следующие книги

• Кембриджский справочник по физическим формулам , Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2 .
• Корнелиус Ланцош , Вариационные принципы механики (Dover Publications, Нью-Йорк, 1986). ISBN  0-486-65067-7 . Ссылки наиболее цитируемые всех тех , кто исследует эту область.
• Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц , Механика, Курс теоретической физики (Баттерворта-Heinenann, 1976), 3 - е изд., Т. 1. ISBN  0-7506-2896-0 . Начинается с принципа наименьшего действия.
• Томас А. Мур «Принцип наименьшего действия» в энциклопедии физики Macmillan (Simon & Schuster Macmillan, 1996), том 2, ISBN  0-02-897359-3 , OCLC  35269891 , страницы 840–842.
• Джеральд Джей Сассман и Джек Уиздом , Структура и интерпретация классической механики (MIT Press, 2001). Начинает с принципа наименьшего действия, использует современные математические обозначения и проверяет ясность и согласованность процедур, программируя их на компьютерном языке.
• Дэйр А. Уэллс, Lagrangian Dynamics, Обзорная серия Шаума (McGraw-Hill, 1967) ISBN  0-07-069258-0 , 350-страничный исчерпывающий «план» предмета.
• Роберт Вайншток, Вариационное исчисление, с приложениями к физике и технике (Dover Publications, 1974). ISBN  0-486-63069-2 . Старое, но хорошее, с формализмом, тщательно определенным перед использованием в физике и технике.
• Вольфганг Юрграу и Стэнли Мандельштам , Вариационные принципы в динамике и квантовой теории (Dover Publications, 1979). Хорошая трактовка, которая не избегает философских последствий теории и хвалит фейнмановскую трактовку квантовой механики, которая сводится к принципу наименьшего действия в пределе большой массы.
• Страница Эдвина Ф. Тейлора

внешние ссылки

• Принцип наименьшего действия интерактивное Интерактивное объяснение / веб-страница