Абстракция (математика) - Abstraction (mathematics)

Абстракция в математике - это процесс извлечения базовых структур , паттернов или свойств математической концепции, устранения любой зависимости от объектов реального мира, с которыми она могла быть изначально связана, и ее обобщения, чтобы она имела более широкие применения или соответствовала другим абстрактным понятиям. описания эквивалентных явлений . Два из наиболее абстрактных областей современной математики являются теорией категорий и теория моделей .

Описание

Многие области математики начинались с изучения проблем реального мира до того, как основные правила и концепции были идентифицированы и определены как абстрактные структуры . Например, геометрия берет свое начало в вычислении расстояний и площадей в реальном мире, а алгебра началась с методов решения задач в арифметике .

Абстракция - это непрерывный процесс в математике, и историческое развитие многих математических тем демонстрирует прогрессию от конкретного к абстрактному. Например, первые шаги в абстракции геометрии были исторически сделаны древними греками, с Евклида является ранней существующей документацией аксиом планиметрии, хотя Прокл говорит о более раннем аксиоматизации по Гиппократ Хиоса . В 17 веке Декарт ввел декартовы координаты, которые позволили развить аналитическую геометрию . Дальнейшие шаги в абстракции были предприняты Лобачевским , Бойяи , Риманом и Гауссом , которые обобщили концепции геометрии для разработки неевклидовых геометрий . Позже в 19 веке математики еще больше обобщили геометрию, развивая такие области, как геометрия в n измерениях , проективная геометрия , аффинная геометрия и конечная геометрия . Наконец Феликс Клейн «s„ программа Эрланген “определил основную тему всех этих геометрий, определяя каждый из них , как изучение свойств инварианта по данной группе из симметрий . Этот уровень абстракции выявил связи между геометрией и абстрактной алгеброй .

В математике абстракция может дать следующие преимущества:

  • Он выявляет глубокие связи между разными областями математики.
  • Известные результаты в одной области могут наводить на предположения в другой смежной области.
  • Методы и методы из одной области могут применяться для подтверждения результатов в других связанных областях.
  • Паттерны одного математического объекта могут быть обобщены на другие подобные объекты того же класса.

С другой стороны, абстракция также может быть невыгодной в том смысле, что очень абстрактные концепции могут быть трудными для изучения. Для концептуального усвоения абстракций может потребоваться степень математической зрелости и опыта .

Бертран Рассел в «Научном мировоззрении» (1931) пишет, что «Обычный язык совершенно не подходит для выражения того, что на самом деле утверждает физика, поскольку слова повседневной жизни недостаточно абстрактны. Только математика и математическая логика могут сказать то же самое, что и физик. сказать."

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

  • Байнок, Бела (2013). Приглашение к абстрактной математике . Springer. ISBN 978-1-4614-6635-2.