Модель AKLT - AKLT model
Модель AKLT является расширением одномерной квантовой модели спина Гейзенберга . Предложение и точное решение этой модели Аффлеком , Либом , Кеннеди и Тасаки дало решающее понимание физики цепочки Гейзенберга со спином 1. Он также послужил полезным примером для таких концепций, как твердый порядок валентных связей, защищенный симметрией топологический порядок и волновые функции состояния произведения матрицы.
Фон
Основным мотивом для модели AKLT была цепочка Маджумдар – Гош . Поскольку два из каждого набора из трех соседних спинов в основном состоянии Маджумдара-Гоша объединены в синглетную или валентную связь, эти три спина вместе никогда не могут быть обнаружены в состоянии спина 3/2. Фактически, гамильтониан Маджумдара – Гоша - это не что иное, как сумма всех проекторов трех соседних спинов на состояние 3/2.
Основная идея статьи AKLT заключалась в том, что эту конструкцию можно обобщить для получения точно решаемых моделей для размеров спина, отличных от 1/2. Так же, как один конец валентной связи имеет спин 1/2, концы двух валентных связей могут быть объединены в спин 1, три - в спин 3/2 и т. Д.
Определение
Affleck et al. были заинтересованы в построении одномерного состояния с валентной связью между каждой парой узлов. Поскольку это приводит к двум спинам 1/2 для каждого узла, результатом должна быть волновая функция системы со спином 1.
Для каждой смежной пары спинов 1 два из четырех составляющих спинов 1/2 застревают в состоянии полного нуля спина. Следовательно, каждой паре спинов 1 запрещено находиться в состоянии комбинированного спина 2. Записав это условие в виде суммы проекторов, AKLT пришла к следующему гамильтониану
где - операторы спина 1.
Этот гамильтониан подобен одномерной квантовой модели спина Гейзенберга со спином 1, но имеет дополнительный член "биквадратичного" спинового взаимодействия.
Основное состояние
По построению, основное состояние гамильтониана AKLT - это твердое тело валентной связи с одной валентной связью, соединяющей каждую соседнюю пару узлов. Графически это можно представить как
Здесь сплошные точки обозначают спин 1/2, которые переведены в синглетные состояния. Линии, соединяющие спин 1/2, представляют собой валентные связи, указывающие на структуру синглетов. Овалы - это операторы проекции, которые «связывают» вместе два спина 1/2 в один спин 1, проецируя спин 0 или синглетное подпространство и сохраняя только спин 1 или триплетное подпространство. Символы «+», «0» и «-» обозначают стандартные базисные состояния спина 1 (собственные состояния оператора).
Спин 1/2 краевых состояний
Для случая кольцевых спинов (периодические граничные условия) конструкция AKLT дает единственное основное состояние. Но в случае открытой цепочки первый и последний спин 1 имеют только одного соседа, оставляя один из составляющих их спинов 1 / 2s неспаренным. В результате концы цепочки ведут себя как моменты свободного спина 1/2, даже если система состоит только из спинов 1.
Краевые состояния со спином 1/2 цепи AKLT можно наблюдать несколькими различными способами. Для коротких цепочек краевые состояния смешиваются в синглет или триплет, давая либо уникальное основное состояние, либо трехкратный мультиплет основных состояний. Для более длинных цепочек краевые состояния расщепляются экспоненциально быстро в зависимости от длины цепочки, что приводит к четырехкратно вырожденному многообразию основного состояния. Используя численный метод, такой как DMRG, для измерения локальной намагниченности вдоль цепочки, также можно напрямую увидеть краевые состояния и показать, что их можно удалить, поместив фактические спин 1/2 на концах. Оказалось даже возможным обнаружение краевых состояний со спином 1/2 при измерениях квазиодномерного магнитного соединения, содержащего небольшое количество примесей, роль которых состоит в том, чтобы разбивать цепочки на конечные сегменты. В 2021 году прямая спектроскопическая подпись краевых состояний со спином 1/2 была обнаружена в изолированных квантовых спиновых цепочках, построенных из триангулена , полициклического ароматического углеводорода со спином 1 .
Матричное представление состояния продукта
Простота основного состояния AKLT позволяет компактно представить его как состояние матричного произведения . Это волновая функция вида
Здесь As представляют собой набор из трех матриц, помеченных значком, а трасса получается из предположения периодических граничных условий.
Волновая функция основного состояния AKLT соответствует выбору:
где - матрица Паули .
Обобщения и расширения
Модель AKLT была решена на решетках более высокой размерности, даже в квазикристаллах . Модель также была построена для высших алгебр Ли, включая SU ( n ) , SO ( n ) , Sp (n), и расширена на квантовые группы SUq ( n ).