Специальный прямоугольный треугольник - Special right triangle

Положение некоторых специальных треугольников в диаграмме Эйлера типов треугольников, используя определение, что равнобедренные треугольники имеют как минимум две равные стороны, т.е. равносторонние треугольники равнобедренные.

Специальный прямоугольный треугольник является прямоугольным с некоторой регулярной функцией , которая делает расчеты на треугольнике проще, или для которых существуют простые формулы. Например, прямоугольный треугольник может иметь углы, которые образуют простые соотношения, например 45 ° –45 ° –90 °. Это называется прямоугольным треугольником, основанным на углах. Прямоугольный треугольник со «основанием по бокам» - это треугольник, в котором длины сторон образуют отношения целых чисел , таких как 3: 4: 5, или других специальных чисел, таких как золотое сечение . Знание соотношений углов или соотношений сторон этих специальных прямоугольных треугольников позволяет быстро вычислять различные длины в геометрических задачах, не прибегая к более продвинутым методам.

Угловой

Специальные угловые треугольники, вписанные в единичный круг, удобны для визуализации и запоминания тригонометрических функций, кратных 30 и 45 градусам.

Специальные "угловые" прямоугольные треугольники задаются соотношением углов, из которых состоит треугольник. Углы этих треугольников таковы, что больший (прямой) угол, который составляет 90 градусов или π / 2 радиан , равен сумме двух других углов.

Длины сторон обычно вычисляются на основе единичной окружности или других геометрических методов. Этот подход можно использовать для быстрого воспроизведения значений тригонометрических функций для углов 30 °, 45 ° и 60 °.

Специальные треугольники используются для помощи в вычислении общих тригонометрических функций, как показано ниже:

градусы радианы углы повороты грех потому что загар котан
0 ° 0 0 г 0 0 / 2 = 0 4 / 2 = 1 0 неопределенный
30 ° π / 6 33 + 1 / 3 грамм 1 / 12 1 / 2 знак равно 1 / 2 3 / 2 1 / 3 3
45 ° π / 4 50 г 1 / 8 2 / 2 знак равно 1 / 2 2 / 2 знак равно 1 / 2 1 1
60 ° π / 3 66 + 2 / 3 грамм 1 / 6 3 / 2 1 / 2 знак равно 1 / 2 3 1 / 3
90 ° π / 2 100 г 1 / 4 4 / 2 = 1 0 / 2 = 0 неопределенный 0
45 ° –45 ° –90 °
30 ° –60 ° –90 °

Треугольник 45 ° –45 ° –90 °, треугольник 30 ° –60 ° –90 ° и равносторонний / равноугольный (60 ° –60 ° –60 °) треугольник - это три треугольника Мёбиуса на плоскости, что означает, что они разбейте плоскость мозаикой с помощью отражений в их сторонах; см. группу "Треугольник" .

45 ° –45 ° –90 ° треугольник

Длины сторон треугольника 45 ° –45 ° –90 °

В плоской геометрии построение диагонали квадрата приводит к треугольнику, три угла которого находятся в соотношении 1: 1: 2, что в сумме дает 180 ° или π радиан. Следовательно, углы составляют соответственно 45 ° ( π / 4 ), 45 ° ( π / 4 ) и 90 ° ( π / 2 ). Стороны этого треугольника находятся в соотношении 1: 1:  2 , что непосредственно следует из теоремы Пифагора .

Из всех прямоугольных треугольников треугольник 45 ° –45 ° –90 ° имеет наименьшее отношение гипотенузы к сумме катетов, а именно 2 / 2 . и наибольшее отношение высоты от гипотенузы к сумме катетов, а именно 2 / 4 .

Треугольники с этими углами - единственные возможные прямоугольные треугольники, которые также являются равнобедренными треугольниками в евклидовой геометрии . Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии существует бесконечно много различных форм прямоугольных равнобедренных треугольников.

30 ° –60 ° –90 ° треугольник

Установить квадрат
Длины сторон треугольника 30 ° –60 ° –90 °

Это треугольник, три угла которого находятся в соотношении 1: 2: 3 и составляют соответственно 30 ° ( π / 6 ), 60 ° ( π / 3 ) и 90 ° ( π / 2 ). Стороны находятся в соотношении 1:  3  : 2.

Доказательство этого факта ясно с помощью тригонометрии . Геометрическое доказательство:

Нарисуйте равносторонний треугольник ABC со стороной 2 и точкой D в качестве середины отрезка BC . Нарисуйте линию высоты от A до D . Тогда ABD - это треугольник 30 ° –60 ° –90 ° с гипотенузой длины 2 и основанием BD длины 1.
Тот факт, что оставшаяся катета AD имеет длину 3, немедленно следует из теоремы Пифагора .

Треугольник 30 ° –60 ° –90 ° - единственный прямоугольный треугольник, углы которого находятся в арифметической прогрессии . Доказательство этого факта простое и следует из того факта, что если α , α + δ , α + 2 δ - углы в прогрессии, то сумма углов 3 α + 3 δ = 180 °. После деления на 3 угол α + δ должен составлять 60 °. Прямой угол равен 90 °, а оставшийся угол равен 30 °.

Боковой

Правильные треугольники сторон которого являются целыми длинами, со сторонами известных под общим названием пифагорейских троек , имеют углы , которые не могут быть все рациональные числа из степеней . (Это следует из теоремы Нивена .) Они наиболее полезны в том смысле, что их легко запомнить, и любое кратное число сторон порождает те же отношения. Используя формулу Евклида для генерации троек Пифагора, стороны должны быть в соотношении

м 2 - n 2  : 2 мин  : м 2 + n 2

где m и n - любые положительные целые числа такие, что m > n .

Общие пифагорейские тройки

Есть несколько хорошо известных пифагоровых троек, в том числе со сторонами в соотношениях:

3: 4 : 5
5: 12 : 13
8: 15 : 17
7: 24 : 25
9: 40 : 41

Треугольники 3: 4: 5 - единственные прямоугольные треугольники с ребрами в арифметической прогрессии . Треугольники, основанные на пифагорейских тройках, являются героновскими , что означает, что у них есть целая площадь, а также целые стороны.

Возможное использование треугольника 3: 4: 5 в Древнем Египте с предполагаемым использованием веревки с узлами для создания такого треугольника и вопрос о том, была ли известна в то время теорема Пифагора, были предметом многочисленных споров. Впервые это предположение было высказано историком Морицем Кантором в 1882 году. Известно, что в Древнем Египте прямые углы были выложены точно; что их геодезисты действительно использовали веревки для измерений; что Плутарх записал в Исиде и Осирисе (около 100 г. н.э.), что египтяне восхищались треугольником 3: 4: 5; и что в Берлинском папирусе 6619 из Среднего царства Египта (до 1700 г. до н.э.) говорилось, что «площадь квадрата 100 равна площади двух меньших квадратов. Сторона одного равна ½ + стороне другого. " Историк математики Роджер Л. Кук отмечает: «Трудно представить, чтобы кто-то интересовался такими условиями, не зная теоремы Пифагора». Напротив, Кук отмечает, что ни в одном египетском тексте до 300 г. до н.э. на самом деле не упоминается использование теоремы для определения длины сторон треугольника, и что существуют более простые способы построить прямой угол. Кук заключает, что гипотеза Кантора остается неопределенной: он предполагает, что древние египтяне, вероятно, знали теорему Пифагора, но что «нет никаких доказательств того, что они использовали ее для построения прямых углов».

Ниже приведены все тройные отношения Пифагора, выраженные в наименьшей форме (помимо пяти наименьших в наименьшей форме в приведенном выше списке) с обеими сторонами, не являющимися гипотенузами, меньше 256:

11: 60 : 61     
12: 35 год : 37
13: 84 : 85
15: 112 : 113
16: 63 : 65
17: 144 : 145
19: 180 : 181
20: 21 год : 29
20: 99 : 101
21: 220 : 221
24: 143 : 145     
28: 45 : 53
28: 195 : 197
32: 255 : 257
33: 56 : 65
36: 77 : 85
39: 80 : 89
44: 117 : 125
48: 55 : 73
51: 140 : 149
52: 165 : 173     
57: 176 : 185
60: 91 : 109
60: 221 : 229
65: 72 : 97
84: 187 : 205
85: 132 : 157
88: 105 : 137
95: 168 : 193
96: 247 : 265
104: 153 : 185
105: 208 : 233
115: 252 : 277
119: 120 : 169
120: 209 : 241
133: 156 : 205
140: 171 : 221
160: 231 : 281
161: 240 : 289
204: 253 : 325
207: 224 : 305

Почти равнобедренные пифагорейские тройки

Равнобедренные прямоугольные треугольники не могут иметь стороны с целыми числами, потому что отношение гипотенузы к любой другой стороне равно 2, а 2 не может быть выражено как отношение двух целых чисел . Однако существует бесконечно много почти равнобедренных прямоугольных треугольников. Это прямоугольные треугольники с целыми сторонами, у которых длины ребер, не являющихся гипотенузой, отличаются на единицу. Такие почти равнобедренные прямоугольные треугольники можно получить рекурсивно,

а 0 = 1, б 0 = 2
а n = 2 b n −1 + a n −1
b n = 2 a n + b n −1

a n - длина гипотенузы, n = 1, 2, 3, .... Эквивалентно,

где { x , y } - решения уравнения Пелла x 2 - 2 y 2 = −1 , где гипотенуза y является нечетными членами чисел Пелла 1 , 2, 5 , 12, 29 , 70, 169 , 408, 985 , 2378 ... (последовательность A000129 в OEIS ) .. Наименьшие результирующие тройки Пифагора:

3: 4 : 5
20: 21 год : 29
119: 120 : 169
696: 697 : 985
4059: 4 060 : 5,741
23 660: 23 661 : 33 461
137 903: 137 904 : 195 025
803 760: 803 761 : 1 136 689
4 684 659:  4 684 660  : 6 625 109

В качестве альтернативы те же треугольники могут быть образованы из квадратных треугольных чисел .

Арифметические и геометрические прогрессии

Кеплер треугольник представляет собой прямоугольный треугольник , образованный тремя квадратами с участками в геометрической прогрессии в соответствии с золотым сечением .

Треугольник Кеплера - это прямоугольный треугольник, стороны которого расположены в геометрической прогрессии . Если стороны образованы геометрической прогрессией a , ar , ar 2, то его общее отношение r равно r = φ, где φ - золотое сечение . Следовательно, его стороны находятся в соотношении 1: φ  : φ . Таким образом, форма треугольника Кеплера однозначно определяется (с точностью до масштабного коэффициента) требованием, чтобы его стороны находились в геометрической прогрессии.

Треугольник 3–4–5 - это единственный прямоугольный треугольник (с точностью до масштабирования), стороны которого находятся в арифметической прогрессии .

Стороны правильных многоугольников

Стороны пятиугольника, шестиугольника и десятиугольника, вписанные в совпадающие окружности, образуют прямоугольный треугольник.

Пусть a = 2 sin  π / 10 знак равно −1 + 5 / 2 знак равно 1 / φ - длина стороны правильного десятиугольника, вписанного в единичный круг, где φ - золотое сечение. Пусть b = 2 sin  π / 6 = 1 - длина стороны правильного шестиугольника в единичной окружности, и пусть c = 2 sin  π / 5 = - длина стороны правильного пятиугольника в единичной окружности. Тогда a 2 + b 2 = c 2 , поэтому эти три длины образуют стороны прямоугольного треугольника. Тот же треугольник образует половину золотого прямоугольника . Его также можно найти внутри правильного икосаэдра со стороной c : самый короткий отрезок прямой от любой вершины V до плоскости ее пяти соседей имеет длину a , а концы этого отрезка вместе с любым из соседей V образуют вершины прямоугольного треугольника со сторонами a , b и c .

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ a b Posamentier, Альфред С., и Леман, Ингмар. Тайны треугольников . Книги Прометея, 2012.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Рациональный треугольник» . MathWorld .
  3. ^ Б с д е е Cooke, Роджер Л. (2011). История математики: Краткий курс (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. С. 237–238. ISBN   978-1-118-03024-0 .
  4. ^ Жиллингс, Ричард Дж. (1982). Математика во времена фараонов . Дувр. п.  161 .
  5. ^ Забудьте, TW; Ларкин, Т.А. (1968), «Пифагоровы триады формы x , x  + 1, z, описываемые рекуррентными последовательностями» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 6 (3): 94–104 .
  6. ^ Чен, СС; Пэн Т.А. (1995), «Почти равнобедренные прямоугольные треугольники» (PDF) , Австралазийский журнал комбинаторики , 11 : 263–267, MR   1327342 .
  7. ^ (последовательность A001652 в OEIS )
  8. ^ Nyblom, MA (1998), "Замечание о наборе почти равнобедренных прямоугольных треугольников" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 36 (4): 319-322, MR   1640364 .
  9. ^ Beauregard, Raymond A .; Suryanarayan, Е. Р. (1997), "Арифметические треугольники", Математика Журнал , 70 (2): 105-115, DOI : 10,2307 / 2691431 , МР   1448883 .
  10. ^ Евклида элементы , Книга XIII, предложение 10 .
  11. ^ nLab: пятиугольник, декагон, шестиугольник .

Внешние ссылки