Формат с плавающей запятой одинарной точности - Single-precision floating-point format

Формат с плавающей запятой одинарной точности (иногда называемый FP32 или float32 ) - это формат компьютерных чисел , обычно занимающий 32 бита в компьютерной памяти ; он представляет широкий динамический диапазон числовых значений с использованием точки с плавающей запятой .

Переменная с плавающей запятой может представлять более широкий диапазон чисел, чем переменная с фиксированной запятой той же разрядности за счет точности. Подписано 32-битное целое число , переменная имеет максимальное значение , равное 2 31 - 1 = 2147483647, в то время как 754 стандарта IEEE 32-битная база-2 переменная с плавающей точкой имеет максимальное значение (2 - 2 -23 ) × 2 127 ≈ 3.4028235 × 10 38 . Все целые числа с 7 или менее десятичными знаками и любые 2 n для целого числа −149 ≤ n ≤ 127 могут быть точно преобразованы в значение с плавающей запятой одинарной точности IEEE 754.

В IEEE 754-2008 стандарт , формат 32-битная база-2 официально называется binary32 ; в IEEE 754-1985 он назывался синглом . IEEE 754 определяет дополнительные типы с плавающей запятой, такие как 64-битные представления с двойной точностью по основанию 2 и, в последнее время, представления с основанием 10.

Одним из первых языков программирования, предоставивших типы данных с плавающей запятой одинарной и двойной точности, был Фортран . До широкого принятия IEEE 754-1985 представление и свойства типов данных с плавающей запятой зависели от производителя компьютера и модели компьютера, а также от решений, принимаемых разработчиками языков программирования. Например, тип данных одинарной точности GW-BASIC был 32-битным форматом с плавающей запятой MBF .

Одинарная точность называется REAL в Fortran , SINGLE-FLOAT в Common Lisp , float в C , C ++ , C # , Java , Float в Haskell и Swift и Single в Object Pascal ( Delphi ), Visual Basic и MATLAB . Однако float в Python , Ruby , PHP и OCaml и single в версиях Octave до 3.2 относятся к числам с двойной точностью . В большинстве реализаций PostScript и некоторых встроенных системах единственная поддерживаемая точность - одинарная.

Двоичный формат с плавающей запятой одинарной точности IEEE 754: binary32

Стандарт IEEE 754 определяет binary32 как имеющий:

Это дает точность от 6 до 9 десятичных знаков . Если десятичная строка с не более чем 6 значащими цифрами преобразована в представление с одинарной точностью IEEE 754, а затем преобразована обратно в десятичную строку с тем же количеством цифр, окончательный результат должен соответствовать исходной строке. Если число с одинарной точностью IEEE 754 преобразовано в десятичную строку, содержащую не менее 9 значащих цифр, а затем преобразовано обратно в представление с одинарной точностью, окончательный результат должен соответствовать исходному числу.

Бит знака определяет знак числа, который также является знаком мантиссы. Показатель степени представляет собой 8-битовое целое число без знака от 0 до 255 в смещенной форме : значение степени 127 представляет фактический ноль. Экспоненты находятся в диапазоне от -126 до +127, поскольку показатели степени -127 (все нули) и +128 (все единицы) зарезервированы для специальных чисел.

Истинное значение включает 23 дробных бита справа от двоичной точки и неявный ведущий бит (слева от двоичной точки) со значением 1, если показатель степени не сохранен со всеми нулями. Таким образом , только 23 фракций бит мантисс появляются в формате память, но общая точность 24 бита (эквивалент для входа 10 (2 24 ) ≈ 7.225 десятичных цифр). Биты расположены следующим образом:

Пример с плавающей точкой example.svg

Действительное значение, принимаемое заданными 32-битными двоичными 32 данными с заданным знаком , смещенной экспонентой e (8-битное целое число без знака) и 23-битной дробью, равно

,

который дает

В этом примере:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

таким образом:

  • .

Примечание:

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Экспонентное кодирование

Двоичная экспонента с плавающей запятой одинарной точности кодируется с использованием двоичного представления смещения с нулевым смещением 127; также известный как смещение экспоненты в стандарте IEEE 754.

Таким образом, чтобы получить истинную экспоненту, как определено двоичным представлением смещения, смещение 127 должно быть вычтено из сохраненной экспоненты.

Сохраненные экспоненты 00 H и FF H интерпретируются особым образом.

Экспонента фракция = 0 дробь ≠ 0 Уравнение
00 H = 00000000 2 ± ноль субнормальное число
01 H , ..., FE H = 00000001 2 , ..., 11111110 2 нормальное значение
FF H = 11111111 2 ± бесконечность NaN (тихо, сигнализирует)

Минимальное положительное нормальное значение равно, а минимальное положительное (субнормальное) значение .

Преобразование из десятичного представления в формат binary32

В общем, обратитесь к самому стандарту IEEE 754 для строгого преобразования (включая поведение округления) действительного числа в его эквивалентный формат binary32.

Здесь мы можем показать, как преобразовать действительное число с основанием 10 в двоичный 32-формат IEEE 754, используя следующую схему:

  • Рассмотрим действительное число с целой и дробной частью, например 12,375.
  • Преобразование и нормализация целой части в двоичную
  • Преобразуйте дробную часть, используя следующую технику, как показано здесь.
  • Добавьте два результата и настройте их, чтобы получить правильное окончательное преобразование.

Преобразование дробной части: Рассмотрим 0,375, дробную часть 12,375. Чтобы преобразовать его в двоичную дробь, умножьте дробь на 2, возьмите целую часть и повторите с новой дробью на 2, пока не будет найдена дробная часть, равная нулю, или пока не будет достигнут предел точности, который составляет 23 цифры дробной части для формата IEEE 754 binary32. .

, целая часть представляет собой двоичную дробную цифру. Чтобы продолжить, умножьте 0,750 на 2.
, дробь = 0,011, конец

Мы видим, что это может быть точно представлено в двоичном формате как . Не все десятичные дроби могут быть представлены в виде конечной двоичной дроби. Например, десятичное число 0,1 не может быть точно представлено в двоичном формате, оно может быть только приближенным. Следовательно:

Поскольку для формата binary32 стандарта IEEE 754 требуется, чтобы реальные значения были представлены в формате (см. Нормализованное число , Денормализованное число ), 1100.011 сдвигается вправо на 3 цифры, чтобы стать

Наконец, мы видим, что:

Из чего мы делаем вывод:

  • Показатель степени равен 3 (и, следовательно, в смещенной форме )
  • Дробь равна 100011 (если смотреть справа от двоичной точки)

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление формата binary32 IEEE 754 для 12,375:

Примечание: подумайте о преобразовании 68,123 в двоичный 32-формат IEEE 754: используя описанную выше процедуру, вы ожидаете получить с последними 4 битами, равными 1001. Однако из-за поведения округления по умолчанию для формата IEEE 754, вы получите , чьи последние 4 бита равны 1010.

Пример 1: Рассмотрим десятичную дробь 1. Мы видим, что:

Из чего мы делаем вывод:

  • Показатель степени равен 0 (и, следовательно, в смещенной форме )
  • Дробь равна 0 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.0, все )

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление в двоичном формате IEEE 754 действительного числа 1:

Пример 2: Рассмотрим значение 0,25. Мы это видим:

Из чего мы делаем вывод:

  • Показатель степени равен −2 (и в смещенной форме это так )
  • Дробь равна 0 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.0, все нули)

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление в формате binary32 IEEE 754 действительного числа 0,25:

Пример 3: Рассмотрим значение 0,375. Мы видели это

Следовательно, после определения представления 0,375, мы можем продолжить, как указано выше:

  • Показатель степени равен −2 (и в смещенной форме это так )
  • Дробь равна 1 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.1, это одно )

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление в формате binary32 IEEE 754 действительного числа 0,375:

Примеры одинарной точности

Эти примеры даны в битовом представлении , в шестнадцатеричном и двоичном формате значения с плавающей запятой. Это включает знак, (смещенную) экспоненту и значащую.

0 00000000 000000000000000000000012 = 0000 000116 = 2−126 × 2−23 = 2−149 ≈ 1.4012984643 × 10−45
                                                   (smallest positive subnormal number)
0 00000000 111111111111111111111112 = 007f ffff16 = 2−126 × (1 − 2−23) ≈ 1.1754942107 ×10−38
                                                   (largest subnormal number)
0 00000001 000000000000000000000002 = 0080 000016 = 2−126 ≈ 1.1754943508 × 10−38
                                                   (smallest positive normal number)
0 11111110 111111111111111111111112 = 7f7f ffff16 = 2127 × (2 − 2−23) ≈ 3.4028234664 × 1038
                                                   (largest normal number)
0 01111110 111111111111111111111112 = 3f7f ffff16 = 1 − 2−24 ≈ 0.999999940395355225
                                                   (largest number less than one)
0 01111111 000000000000000000000002 = 3f80 000016 = 1 (one)
0 01111111 000000000000000000000012 = 3f80 000116 = 1 + 2−23 ≈ 1.00000011920928955
                                                   (smallest number larger than one)
1 10000000 000000000000000000000002 = c000 000016 = −2
0 00000000 000000000000000000000002 = 0000 000016 = 0
1 00000000 000000000000000000000002 = 8000 000016 = −0
                                   
0 11111111 000000000000000000000002 = 7f80 000016 = infinity
1 11111111 000000000000000000000002 = ff80 000016 = −infinity
                                   
0 10000000 100100100001111110110112 = 4049 0fdb16 ≈ 3.14159274101257324 ≈ π ( pi )
0 01111101 010101010101010101010112 = 3eaa aaab16 ≈ 0.333333343267440796 ≈ 1/3
                                   
x 11111111 100000000000000000000012 = ffc0 000116 = qNaN (on x86 and ARM processors)
x 11111111 000000000000000000000012 = ff80 000116 = sNaN (on x86 and ARM processors)

По умолчанию 1/3 округляется в большую сторону , а не в меньшую, как при двойной точности , из-за четного числа бит в мантиссе. Биты на 1/3 за точкой округления 1010...составляют более 1/2 единицы в последнем месте .

Кодировки qNaN и sNaN не указаны в IEEE 754 и по-разному реализованы на разных процессорах. Семейство x86 и процессоры семейства ARM используют старший бит значимого поля для обозначения тихого NaN. Процессоры PA-RISC используют этот бит для указания NaN сигнализации.

Преобразование двоичного числа с одинарной точностью в десятичное

В этом примере мы начнем с шестнадцатеричного представления значения 41C80000 и преобразуем его в двоичное:

затем мы разбиваем его на три части: бит знака, показатель степени и значащая величина.

  • Знаковый бит:
  • Показатель:
  • Значение:

Затем мы добавляем неявный 24-й бит к мантиссе:

  • Значение:

и декодируем значение экспоненты вычитанием 127:

  • Необработанная экспонента:
  • Расшифрованная экспонента:

Каждый из 24 бит мантиссы (включая неявный 24-й бит), от бита 23 до бита 0, представляет собой значение, начинающееся с 1 и уменьшающееся вдвое для каждого бита, как показано ниже:

bit 23 = 1
bit 22 = 0.5
bit 21 = 0.25
bit 20 = 0.125
bit 19 = 0.0625
bit 18 = 0.03125
.
.
bit 0 = 0.00000011920928955078125

Мантисса в этом примере имеет три установленных бита: бит 23, бит 22 и бит 19. Теперь мы можем декодировать мантиссу, складывая значения, представленные этими битами.

  • Расшифрованное значение:

Затем нам нужно умножить с основанием 2 на степень экспоненты, чтобы получить окончательный результат:

Таким образом

Это эквивалентно:

где s - знаковый бит, x - показатель степени, а m - значение.

Ограничения точности десятичных значений в [1, 16777216]

  • Десятичные числа от 1 до 2: фиксированный интервал 2 −23 (1 + 2 −23 - следующее по величине число с плавающей запятой после 1)
  • Десятичные числа от 2 до 4: фиксированный интервал 2 −22
  • Десятичные числа от 4 до 8: фиксированный интервал 2 −21
  • ...
  • Десятичные числа от 2 n до 2 n + 1 : фиксированный интервал 2 n-23
  • ...
  • Десятичные числа от 2 22 = 4194304 до 2 23 = 8388608: фиксированный интервал 2 −1 = 0,5
  • Десятичные числа от 2 23 = 8388608 до 2 24 = 16777216: фиксированный интервал 2 0 = 1

Ограничения точности для целочисленных значений

  • Целые числа от 0 до 16777216 могут быть точно представлены (также применимо к отрицательным целым числам от -16777216 до 0)
  • Целые числа от 2 24 = 16777216 до 2 25 = 33554432 округляются до кратного 2 (четного числа).
  • Целые числа от 2 25 до 2 26 округляются до кратного 4
  • ...
  • Целые числа от 2 n до 2 n + 1 округлить до кратного 2 n-23
  • ...
  • Целых между 2 127 и 2 128 раундом кратными 2 104
  • Целые числа больше или равные 2 128 округляются до «бесконечности».

Оптимизация

Конструкция формата с плавающей запятой допускает различные оптимизации, являющиеся результатом простой генерации аппроксимации логарифма с основанием 2 из целочисленного представления необработанного битового шаблона. Целочисленная арифметика и сдвиг битов могут дать приближение к обратному квадратному корню ( быстрый обратный квадратный корень ), что обычно требуется в компьютерной графике .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки