λ-кольцо - λ-ring

В алгебре , λ-кольцо или лямбда - кольцо является коммутативным кольцом вместе с некоторыми операциями Л ^п о нем , которые ведут себя как внешние степени из векторных пространств . Многие кольца, рассматриваемые в K-теории, несут естественную λ-кольцевую структуру. λ-кольца также предоставляют мощный формализм для изучения действия симметрических функций на кольце многочленов , восстанавливая и расширяя многие классические результаты ( Lascoux (2003) ).

λ-кольца были введены Гротендиком  ( 1957 , 1958 , с.148). Для получения дополнительной информации о λ-кольцах см. Atiyah & Tall (1969) , Knutson (1973) , Hazewinkel (2009) и Yau (2010) .

Мотивация

Если V и W являются конечномерные мерных векторных пространств над полем к , то можно сформировать прямую сумму V ⊕  W , то тензорное произведение V ⊗  W , а в н -й внешней степени из V , Л ^п ( V ). Все это снова конечномерные векторные пространства над k . Та же три операции прямой суммы, тензорное произведения и внешней силы, также доступна при работе с к -линейным представлениям одного конечной группы , при работе с векторными расслоениями над некоторым топологическим пространством , так и в более общих ситуациях.

λ-кольца предназначены для абстрагирования общих алгебраических свойств этих трех операций, где мы также допускаем формальные обратные по отношению к операции прямой суммы. (Эти формальные инверсии также появляются в группах Гротендика , поэтому основные аддитивные группы большинства λ-колец являются группами Гротендика.) Сложение в кольце соответствует прямой сумме, умножение в кольце соответствует тензорному произведению и λ-операции к внешним степеням. Например, изоморфизм

${\ Displaystyle \ Lambda ^ {2} (V \ oplus W) \ cong \ Lambda ^ {2} (V) \ oplus \ left (\ Lambda ^ {1} (V) \ otimes \ Lambda ^ {1} (W ) \ right) \ oplus \ Lambda ^ {2} (W)}$

соответствует формуле

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} (x + y) = \ lambda ^ {2} (x) + \ lambda ^ {1} (x) \ lambda ^ {1} (y) + \ lambda ^ {2} (y)}$

справедливо во всех λ-кольцах, и изоморфизм

${\ displaystyle \ Lambda ^ {1} (V \ otimes W) \ cong \ Lambda ^ {1} (V) \ otimes \ Lambda ^ {1} (W)}$

соответствует формуле

${\ Displaystyle \ лямбда ^ {1} (ху) = \ лямбда ^ {1} (х) \ лямбда ^ {1} (у)}$

справедливо во всех λ-кольцах. Аналогичные, но (гораздо) более сложные формулы управляют λ-операторами более высокого порядка.

Мотивация с помощью векторных пакетов

Если у нас есть короткая точная последовательность векторных расслоений над гладкой схемой ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {E}} '' \ to {\ mathcal {E}} \ to {\ mathcal {E}} '\ to 0,}$

то локально для достаточно малой открытой окрестности выполняется изоморфизм ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ bigwedge ^ {n} {\ mathcal {E}} | _ {U} \ cong \ bigoplus _ {i + j = n} \ bigwedge ^ {i} {\ mathcal {E}} '| _ { U} \ otimes \ bigwedge ^ {j} {\ mathcal {E}} '' | _ {U}}$

Теперь в группе Гротендика мы получаем это локальное уравнение глобально бесплатно из определяющих отношений эквивалентности . Так ${\ Displaystyle К (Х)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left [\ bigwedge ^ {n} {\ mathcal {E}} \ right] & = \ left [\ bigoplus _ {i + j = n} \ bigwedge ^ {i} { \ mathcal {E}} '\ otimes \ bigwedge ^ {j} {\ mathcal {E}}' '\ right] \\ & = \ sum _ {i + j = n} \ left [\ bigwedge ^ {i} {\ mathcal {E}} '\ right] \ cdot \ left [\ bigwedge ^ {j} {\ mathcal {E}}' '\ right] \ end {выравнивается}}}$

демонстрируя основное соотношение в λ-кольце, что λ ⁿ ( x  +  y ) = Σ _{i + j = n}  λ ⁱ ( x ) λ ^j ( y ).

Определение

Λ-кольцо - это коммутативное кольцо R вместе с операциями λ ⁿ  : R → R для любого неотрицательного целого числа n . Эти операции должны обладать следующими свойствами, действительными для всех x ,  y в R и всех n, m  ≥ 0:

• λ ⁰ ( х ) = 1
• λ ¹ ( х ) = х
• λ ⁿ (1) = 0, если n  ≥ 2
• λ ⁿ ( x  +  y ) = Σ _{i + j = n}  λ ⁱ ( x ) λ ^j ( y ).
• λ ⁿ ( xy ) = P _n (λ ¹ ( x ), ..., λ ⁿ ( x ), λ ¹ ( y ), ..., λ ⁿ ( y ))
• λ ⁿ (λ ^m ( x )) = P _{n , m} (λ ¹ ( x ), ..., λ ^mn ( x ))

где P _n и P _{n, m} - некоторые универсальные полиномы с целыми коэффициентами, которые описывают поведение внешних степеней на тензорных произведениях и при композиции. Эти многочлены можно определить следующим образом.

Пусть e ₁ , ..., e _mn - элементарные симметрические многочлены от переменных X ₁ , ..., X _mn . Тогда P _{n , m} - единственный полином от nm переменных с целыми коэффициентами, такой что P _{n, m} ( e ₁ , ..., e _mn ) - коэффициент при t ⁿ в выражении

${\ displaystyle \ prod _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {m} \ leq mn} (1 + tX_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} \ cdots X_ {i_ {m}})}$  

(Такой многочлен существует, потому что выражение симметрично относительно X _i, а элементарные симметричные многочлены порождают все симметричные многочлены.)

Пусть теперь е ₁ , ..., е _п быть элементарные симметрические многочлены от переменных X ₁ , ..., X _п и F ₁ , ..., е _п быть элементарные симметрические многочлены от переменных Y ₁ ,. .., Y _n . Тогда P _n - это единственный полином от 2 n переменных с целыми коэффициентами, такой что P _n ( e ₁ , ..., e _n , f ₁ , ..., f _n ) - коэффициент при t ⁿ в выражении

${\ Displaystyle \ prod _ {я, j = 1} ^ {n} (1 + tX_ {i} Y_ {j})}$

Вариации

Определенные выше λ-кольца некоторые авторы называют «специальными λ-кольцами», которые используют термин «λ-кольцо» для более общей концепции, в которой условия на λ ⁿ (1), λ ⁿ ( xy ) и λ ^m (λ ⁿ ( x )) опускаются.

Примеры

• Кольцо Z из целых чисел , с биномиальными коэффициентами , как операции (которые также определены для отрицательных х ) является λ-кольцо. На самом деле, это единственный λ-структура на Z . Этот пример тесно связан со случаем конечномерных векторных пространств, упомянутых в разделе « Мотивация» выше, где каждое векторное пространство идентифицируется с его размерностью и запоминается .${\ Displaystyle \ лямбда ^ {п} (х) = {х \ выбрать п}}$${\ displaystyle \ dim (\ Lambda ^ {n} (k ^ {x})) = {x \ выбрать n}}$
• В более общем смысле, любое биномиальное кольцо становится λ-кольцом, если мы определяем λ-операции как биномиальные коэффициенты, λ ⁿ ( x ) = (^х
  _п). В этих λ-кольцах все операции Адамса идентичны.
• К-теории К ( Х ) из топологического пространства X является λ-кольцом, с операциями лямбда - индуцированных принимая внешние силы векторного расслоения.
• Учитывая группы G , и основное поле к , то представление кольца R ( G ) является λ-кольцо; Л-операция индуцируется внешними силами к -линейным представлениям группы G .
• Кольцо Λ _Z симметричных функций является λ-кольцом. Для целочисленных коэффициентов λ-операции определяются биномиальными коэффициентами, как указано выше, и если e ₁ , e ₂ , ... обозначают элементарные симметричные функции, мы полагаем λ ⁿ ( e ₁ ) = e _n . Используя аксиомы для Л-операций, а также тот факт , что функции е _к являются алгебраически независимы и порождают кольцо Л _Z , это определение может быть продлено в уникальном моды таким образом , чтобы превратить Л _Z в Й-кольцо. Фактически, это свободное λ-кольцо на одной образующей, генератор e ₁ . (Яу ( 2010 , стр.14)).

Другие свойства и определения

Каждое λ-кольцо имеет характеристику 0 и содержит λ-кольцо Z как λ-подкольцо.

Многие понятия коммутативной алгебры распространяются на λ-кольца. Например, λ-гомоморфизм между λ-кольцами R и S - это гомоморфизм колец f: R → S такой, что f (λ ⁿ ( x )) = λ ⁿ ( f ( x )) для всех x в R и всех n ≥ 0. λ-идеалом в λ-кольце R называется идеал I в R такой, что λ ⁿ ( x ) ϵ I для всех x в R и всех n ≥ 1.

Если x - элемент λ-кольца, а m - неотрицательное целое число такое, что λ ^m ( x ) ≠ 0 и λ ⁿ ( x ) = 0 для всех n > m , мы пишем dim ( x ) = m и называем элемент x конечномерный. Не все элементы должны быть конечномерными. Имеем dim ( x + y ) ≤ dim ( x ) + dim ( y ) и произведение одномерных элементов одномерно .

Смотрите также

• Черн класс

использованная литература

• Atiyah, MF; Высокий, DO (1969), "Представление групп, А-кольцо и J-гомоморфизм.", Топология , 8 : 253-297, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (69) 90015-9 , МР  0244387
• Экспо 0 и V Бертло, Пьер ; Александр Гротендик ; Люк Иллюзи , ред. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспект лекций по математике 225 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii + 700. DOI : 10.1007 / BFb0066283 . ISBN 978-3-540-05647-8. Руководство по ремонту  0354655 .
• Гротендик, Александр (1957), "Специальные λ-кольца", неопубликованные.
• Гротендик, Александр (1958), "Теория классов де Черна" , Bull. Soc. Математика. Франция , 86 : 137–154, MR  0116023
• Hazewinkel, Michiel (2009), "Векторы Витта. I.", Справочник по алгебре. Vol. 6 , Амстердам: Эльзевир / Северная Голландия, стр. 319–472, arXiv : 0804.3888 , doi : 10.1016 / S1570-7954 (08) 00207-6 , ISBN 978-0-444-53257-2, MR  2553661
• Knutson, Дональд (1973), λ-кольца и теория представлений симметрической группы , Lecture Notes в области математики, 308 , Берлин-Нью - Йорк: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / BFb0069217 , MR  0364425
• Ласку, Ален (2003), Симметричные функции и комбинаторные операторы на многочленах (PDF) , CBMS Reg. Конф. Сер. по математике. 99, Американское математическое общество
• Soulé, C .; Абрамович, Дан; Burnol, J.-F .; Крамер, Юрг (1992). Лекции по геометрии Аракелова . Кембриджские исследования в области высшей математики. 33 . Совместная работа с Х. Жилле. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-47709-3. Zbl  0812.14015 .
• Яу, Дональд (2010), Лямбда-кольца , Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., DOI : 10.1142 / 7664 , ISBN 978-981-4299-09-1, Руководство по ремонту  2649360